David J. Green

Cohomology
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Cohomology of group number 2265 of order 128

About the group

Ring generators

Ring relations

Completion information

Restriction maps

Back to groups of order 128

General information on the group

• The group has 5 minimal generators and exponent 4.
• It is non-abelian.
• It has p-Rank 4.
• Its center has rank 2.
• It has 5 conjugacy classes of maximal elementary abelian subgroups, which are of rank 3, 3, 4, 4 and 4, respectively.

Structure of the cohomology ring

General information

• The cohomology ring is of dimension 4 and depth 2.
• The depth coincides with the Duflot bound.
• The Poincaré series is

  t9  −  2·t8  +  3·t6  +  3·t5  −  2·t4  +  2·t2  +  2·t  +  1

  (t  +  1) · (t  −  1)4 · (t2  +  1)2 · (t4  +  1)

• The a-invariants are -∞,-∞,-7,-5,-4. They were obtained using the filter regular HSOP of the Benson test.

About the group

Ring generators

Ring relations

Completion information

Restriction maps

Back to groups of order 128

Ring generators

The cohomology ring has 17 minimal generators of maximal degree 9:

1. b_1_0, an element of degree 1
2. b_1_1, an element of degree 1
3. b_1_2, an element of degree 1
4. b_1_3, an element of degree 1
5. b_1_4, an element of degree 1
6. c_4_31, a Duflot regular element of degree 4
7. b_5_39, an element of degree 5
8. b_5_40, an element of degree 5
9. b_5_41, an element of degree 5
10. b_5_42, an element of degree 5
11. b_5_43, an element of degree 5
12. b_5_44, an element of degree 5
13. b_6_67, an element of degree 6
14. c_8_121, a Duflot regular element of degree 8
15. b_9_151, an element of degree 9
16. b_9_152, an element of degree 9
17. b_9_153, an element of degree 9

About the group

Ring generators

Ring relations

Completion information

Restriction maps

Back to groups of order 128

Ring relations

There are 86 minimal relations of maximal degree 18:

1. b_1_1·b_1_2 + b_1_0·b_1_3 + b_1_0·b_1_2
2. b_1_2² + b_1_1·b_1_3 + b_1_0·b_1_4 + b_1_0·b_1_1
3. b_1_0·b_1_3² + b_1_0·b_1_2·b_1_3 + b_1_0·b_1_1·b_1_3
4. b_1_1·b_1_3² + b_1_0·b_1_4² + b_1_0·b_1_3² + b_1_0·b_1_1·b_1_4
5. b_1_0·b_1_4⁴ + b_1_0·b_1_1³·b_1_4 + b_1_0²·b_1_2·b_1_3·b_1_4
      + b_1_0²·b_1_1²·b_1_4 + b_1_0²·b_1_1³ + b_1_0³·b_1_2·b_1_3 + b_1_0³·b_1_1·b_1_3
      + b_1_0⁴·b_1_4 + b_1_0⁴·b_1_1
6. b_1_2·b_5_39 + b_1_0³·b_1_2·b_1_3·b_1_4 + b_1_0³·b_1_1²·b_1_4 + b_1_0³·b_1_1³
      + b_1_0⁴·b_1_1·b_1_4 + b_1_0⁴·b_1_1·b_1_3 + b_1_0⁴·b_1_1² + b_1_0⁵·b_1_4
      + b_1_0⁵·b_1_1
7. b_1_3·b_5_39 + b_1_0³·b_1_1²·b_1_4 + b_1_0³·b_1_1³ + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_3
      + b_1_0⁵·b_1_4 + b_1_0⁵·b_1_1
8. b_1_2·b_5_40 + b_1_0³·b_1_2·b_1_3·b_1_4 + b_1_0⁴·b_1_3·b_1_4 + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_4
      + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_3 + b_1_0⁴·b_1_1·b_1_3 + b_1_0⁵·b_1_4 + b_1_0⁵·b_1_1
      + c_4_31·b_1_1·b_1_3 + c_4_31·b_1_0·b_1_4 + c_4_31·b_1_0·b_1_2 + c_4_31·b_1_0·b_1_1
9. b_1_0·b_5_40 + b_1_0³·b_1_1³ + b_1_0⁴·b_1_3·b_1_4 + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_3
      + b_1_0⁴·b_1_1² + b_1_0⁵·b_1_4 + b_1_0⁵·b_1_3 + b_1_0⁵·b_1_2 + c_4_31·b_1_0·b_1_2
      + c_4_31·b_1_0²
10. b_1_4·b_5_39 + b_1_1·b_5_40 + b_1_1·b_5_39 + b_1_0·b_1_1⁴·b_1_4 + b_1_0·b_1_1⁵
       + b_1_0²·b_1_1⁴ + b_1_0³·b_1_1³ + b_1_0⁴·b_1_3·b_1_4 + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_4
       + b_1_0⁴·b_1_1² + c_4_31·b_1_0·b_1_3 + c_4_31·b_1_0·b_1_2 + c_4_31·b_1_0·b_1_1
11. b_1_3·b_5_40 + b_1_2·b_5_41 + b_1_0³·b_1_2·b_1_3·b_1_4 + b_1_0³·b_1_1²·b_1_4
       + b_1_0³·b_1_1³ + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_4 + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_3 + b_1_0⁵·b_1_3
       + b_1_0⁵·b_1_2 + c_4_31·b_1_2·b_1_4 + c_4_31·b_1_2·b_1_3
12. b_1_0·b_5_41 + b_1_0·b_5_39 + b_1_0³·b_1_2·b_1_3·b_1_4 + b_1_0³·b_1_1²·b_1_4
       + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_4 + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_3 + b_1_0⁴·b_1_1·b_1_4 + b_1_0⁴·b_1_1²
       + b_1_0⁵·b_1_4 + c_4_31·b_1_0·b_1_4 + c_4_31·b_1_0·b_1_1 + c_4_31·b_1_0²
13. b_1_1·b_5_41 + b_1_1·b_5_39 + b_1_0²·b_1_1⁴ + b_1_0³·b_1_2·b_1_3·b_1_4
       + b_1_0⁴·b_1_3·b_1_4 + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_4 + b_1_0⁴·b_1_1·b_1_3 + b_1_0⁴·b_1_1²
       + b_1_0⁵·b_1_4 + b_1_0⁵·b_1_1 + c_4_31·b_1_1·b_1_4 + c_4_31·b_1_1²
       + c_4_31·b_1_0·b_1_1
14. b_1_3·b_5_42 + b_1_2·b_5_43 + b_1_2·b_5_42 + b_1_0³·b_1_2·b_1_3·b_1_4
       + b_1_0³·b_1_1²·b_1_4 + b_1_0³·b_1_1³ + b_1_0⁴·b_1_3·b_1_4 + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_4
       + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_3 + b_1_0⁵·b_1_4 + b_1_0⁵·b_1_3 + b_1_0⁵·b_1_2 + b_1_0⁵·b_1_1
       + c_4_31·b_1_3·b_1_4 + c_4_31·b_1_3² + c_4_31·b_1_0·b_1_4 + c_4_31·b_1_0·b_1_1
15. b_1_1·b_5_42 + b_1_0·b_5_43 + b_1_0·b_5_39 + b_1_0³·b_1_1²·b_1_4 + b_1_0³·b_1_1³
       + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_4 + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_3 + b_1_0⁴·b_1_1·b_1_4 + b_1_0⁵·b_1_4
       + b_1_0⁵·b_1_3 + b_1_0⁵·b_1_2 + c_4_31·b_1_1·b_1_4 + c_4_31·b_1_1·b_1_3
       + c_4_31·b_1_1² + c_4_31·b_1_0·b_1_4 + c_4_31·b_1_0·b_1_3 + c_4_31·b_1_0·b_1_2
       + c_4_31·b_1_0·b_1_1
16. b_1_4·b_5_42 + b_1_3·b_5_43 + b_1_3·b_5_42 + b_1_3·b_5_41 + b_1_2·b_5_44 + b_1_1·b_5_42
       + b_1_0³·b_1_2·b_1_3·b_1_4 + b_1_0³·b_1_1²·b_1_4 + b_1_0³·b_1_1³
       + b_1_0⁴·b_1_3·b_1_4 + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_4 + c_4_31·b_1_4² + c_4_31·b_1_3²
       + c_4_31·b_1_2·b_1_4 + c_4_31·b_1_1² + c_4_31·b_1_0·b_1_3
17. b_1_2·b_5_42 + b_1_1·b_5_42 + b_1_0·b_5_44 + b_1_0·b_5_42 + b_1_0·b_5_39
       + b_1_0³·b_1_2·b_1_3·b_1_4 + b_1_0³·b_1_1³ + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_3 + b_1_0⁴·b_1_1²
       + b_1_0⁵·b_1_4 + b_1_0⁵·b_1_3 + c_4_31·b_1_2·b_1_4 + c_4_31·b_1_2·b_1_3
       + c_4_31·b_1_1·b_1_4 + c_4_31·b_1_1² + c_4_31·b_1_0·b_1_2 + c_4_31·b_1_0·b_1_1
18. b_1_4·b_5_39 + b_1_3·b_5_42 + b_1_3·b_5_40 + b_1_2·b_5_42 + b_1_1·b_5_44 + b_1_1·b_5_43
       + b_1_1·b_5_42 + b_1_1·b_5_39 + b_1_0·b_1_1⁴·b_1_4 + b_1_0·b_1_1⁵ + b_1_0²·b_1_1⁴
       + b_1_0³·b_1_1²·b_1_4 + b_1_0³·b_1_1³ + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_3 + c_4_31·b_1_3·b_1_4
       + c_4_31·b_1_3² + c_4_31·b_1_2·b_1_4 + c_4_31·b_1_2·b_1_3 + c_4_31·b_1_1²
       + c_4_31·b_1_0·b_1_4 + c_4_31·b_1_0·b_1_3 + c_4_31·b_1_0·b_1_1
19. b_1_3·b_1_4·b_5_43 + b_1_3·b_1_4·b_5_41 + b_1_2·b_1_4·b_5_44 + b_1_2·b_1_4·b_5_41
       + b_1_2·b_1_3·b_5_44 + b_1_0·b_1_3·b_5_43 + b_1_0⁴·b_1_1²·b_1_4 + b_1_0⁴·b_1_1³
       + b_1_0⁵·b_1_3·b_1_4 + b_1_0⁵·b_1_2·b_1_4 + b_1_0⁵·b_1_2·b_1_3 + b_1_0⁵·b_1_1·b_1_3
       + b_1_0⁶·b_1_4 + b_1_0⁶·b_1_1 + c_4_31·b_1_2·b_1_4² + c_4_31·b_1_2·b_1_3·b_1_4
       + c_4_31·b_1_2·b_1_3² + c_4_31·b_1_0·b_1_2·b_1_4
20. b_1_1·b_1_3·b_5_44 + b_1_0·b_1_4·b_5_43 + b_1_0·b_1_3·b_5_44 + b_1_0·b_1_3·b_5_43
       + b_1_0·b_1_2·b_5_44 + b_1_0·b_1_1·b_5_43 + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_3·b_1_4
       + b_1_0⁵·b_1_2·b_1_4 + b_1_0⁵·b_1_2·b_1_3 + b_1_0⁵·b_1_1·b_1_4 + b_1_0⁵·b_1_1²
       + b_1_0⁶·b_1_4 + b_1_0⁶·b_1_1 + c_4_31·b_1_0·b_1_3·b_1_4 + c_4_31·b_1_0·b_1_1·b_1_3
       + c_4_31·b_1_0²·b_1_4 + c_4_31·b_1_0²·b_1_3 + c_4_31·b_1_0²·b_1_2
       + c_4_31·b_1_0²·b_1_1
21. b_1_4²·b_5_41 + b_1_3·b_1_4·b_5_43 + b_1_3·b_1_4·b_5_41 + b_1_3²·b_5_44
       + b_1_2·b_1_4·b_5_44 + b_1_2·b_1_3·b_5_41 + b_1_1·b_1_4·b_5_44 + b_1_1·b_1_4·b_5_43
       + b_1_1²·b_5_40 + b_1_1²·b_5_39 + b_1_0·b_1_4·b_5_43 + b_1_0·b_1_3·b_5_43
       + b_1_0·b_1_2·b_5_44 + b_1_0·b_1_1·b_5_44 + b_1_0·b_1_1·b_5_43 + b_1_0·b_1_1·b_5_39
       + b_1_0·b_1_1⁵·b_1_4 + b_1_0·b_1_1⁶ + b_1_0²·b_5_43 + b_1_0²·b_5_39
       + b_1_0²·b_1_1⁵ + b_1_0⁴·b_1_1²·b_1_4 + b_1_0⁵·b_1_3·b_1_4 + b_1_0⁵·b_1_2·b_1_4
       + b_1_0⁵·b_1_1·b_1_4 + b_1_0⁵·b_1_1·b_1_3 + b_1_0⁵·b_1_1² + b_1_0⁶·b_1_4
       + b_6_67·b_1_2 + c_4_31·b_1_4³ + c_4_31·b_1_3³ + c_4_31·b_1_2·b_1_4²
       + c_4_31·b_1_1·b_1_3·b_1_4 + c_4_31·b_1_0·b_1_2·b_1_4 + c_4_31·b_1_0·b_1_2·b_1_3
       + c_4_31·b_1_0·b_1_1·b_1_3 + c_4_31·b_1_0·b_1_1² + c_4_31·b_1_0²·b_1_4
       + c_4_31·b_1_0²·b_1_2 + c_4_31·b_1_0²·b_1_1
22. b_1_0·b_1_3·b_5_44 + b_1_0·b_1_2·b_5_44 + b_1_0·b_1_1·b_5_39 + b_1_0²·b_5_44
       + b_1_0²·b_5_39 + b_1_0²·b_1_1⁵ + b_1_0⁴·b_1_2·b_1_3·b_1_4 + b_1_0⁴·b_1_1³
       + b_1_0⁵·b_1_2·b_1_4 + b_1_0⁵·b_1_2·b_1_3 + b_1_0⁵·b_1_1·b_1_4 + b_1_0⁵·b_1_1²
       + b_1_0⁶·b_1_4 + b_1_0⁶·b_1_2 + b_1_0⁶·b_1_1 + b_6_67·b_1_0 + c_4_31·b_1_0·b_1_4²
       + c_4_31·b_1_0·b_1_2·b_1_3 + c_4_31·b_1_0²·b_1_3 + c_4_31·b_1_0²·b_1_2
       + c_4_31·b_1_0²·b_1_1 + c_4_31·b_1_0³
23. b_1_4²·b_5_40 + b_1_3·b_1_4·b_5_43 + b_1_3·b_1_4·b_5_41 + b_1_2·b_1_4·b_5_44
       + b_1_2·b_1_4·b_5_41 + b_1_1·b_1_4·b_5_44 + b_1_1·b_1_4·b_5_43 + b_1_1²·b_5_40
       + b_1_1²·b_5_39 + b_1_0·b_1_4·b_5_44 + b_1_0·b_1_1·b_5_44 + b_1_0·b_1_1⁶
       + b_1_0²·b_5_43 + b_1_0²·b_5_39 + b_1_0²·b_1_1⁵ + b_1_0⁴·b_1_1²·b_1_4
       + b_1_0⁶·b_1_4 + b_6_67·b_1_1 + c_4_31·b_1_2·b_1_3·b_1_4 + c_4_31·b_1_1·b_1_3·b_1_4
       + c_4_31·b_1_0·b_1_4² + c_4_31·b_1_0·b_1_2·b_1_4 + c_4_31·b_1_0·b_1_1·b_1_4
       + c_4_31·b_1_0²·b_1_4 + c_4_31·b_1_0²·b_1_3 + c_4_31·b_1_0²·b_1_2
24. b_5_41² + b_5_40·b_5_41 + b_5_40² + b_5_39·b_5_40 + b_5_39² + b_1_2·b_1_3⁴·b_5_41
       + b_1_0⁴·b_1_1⁶ + b_1_0⁵·b_1_1⁵ + b_1_0⁶·b_1_1⁴ + b_1_0⁷·b_1_1³
       + b_1_0⁸·b_1_1² + b_1_0⁹·b_1_4 + b_1_0⁹·b_1_3 + b_1_0⁹·b_1_2 + b_1_0⁹·b_1_1
       + c_4_31·b_1_4·b_5_40 + c_4_31·b_1_3⁶ + c_4_31·b_1_2·b_5_41
       + c_4_31·b_1_2·b_1_3⁴·b_1_4 + c_4_31·b_1_2·b_1_3⁵ + c_4_31·b_1_1·b_5_40
       + c_4_31·b_1_1·b_1_3·b_1_4⁴ + c_4_31·b_1_1²·b_1_4⁴ + c_4_31·b_1_1⁴·b_1_4²
       + c_4_31·b_1_0³·b_1_2·b_1_3·b_1_4 + c_4_31·b_1_0⁴·b_1_2·b_1_4
       + c_4_31·b_1_0⁴·b_1_1·b_1_4 + c_4_31·b_1_0⁵·b_1_3 + c_4_31·b_1_0⁵·b_1_2
       + c_4_31²·b_1_4² + c_4_31²·b_1_2·b_1_4 + c_4_31²·b_1_1·b_1_3 + c_4_31²·b_1_1²
       + c_4_31²·b_1_0·b_1_4 + c_4_31²·b_1_0·b_1_3 + c_4_31²·b_1_0·b_1_2
       + c_4_31²·b_1_0·b_1_1 + c_4_31²·b_1_0²
25. b_5_41·b_5_43 + b_5_41·b_5_42 + b_5_41² + b_5_40·b_5_44 + b_5_40·b_5_43 + b_5_39·b_5_43
       + b_5_39·b_5_42 + b_5_39·b_5_41 + b_5_39·b_5_40 + b_1_0²·b_1_1³·b_5_43
       + b_1_0⁴·b_1_3·b_5_43 + b_1_0⁴·b_1_1·b_5_44 + b_1_0⁴·b_1_1⁶ + b_1_0⁵·b_1_1⁵
       + b_1_0⁷·b_1_1³ + b_1_0⁸·b_1_1·b_1_3 + b_1_0⁹·b_1_3 + b_1_0⁹·b_1_2
       + b_6_67·b_1_0·b_1_2·b_1_3·b_1_4 + b_6_67·b_1_0²·b_1_3·b_1_4
       + b_6_67·b_1_0²·b_1_2·b_1_4 + b_6_67·b_1_0³·b_1_4 + c_4_31·b_1_4·b_5_43
       + c_4_31·b_1_4·b_5_40 + c_4_31·b_1_3·b_5_43 + c_4_31·b_1_2·b_1_3⁴·b_1_4
       + c_4_31·b_1_2·b_1_3⁵ + c_4_31·b_1_1·b_5_43 + c_4_31·b_1_1·b_5_40
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34. b_5_41·b_5_42 + b_5_40·b_5_44 + b_5_40·b_5_43 + b_5_40·b_5_42 + b_5_40·b_5_41 + b_5_40²
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35. b_5_42·b_5_44 + b_5_42·b_5_43 + b_5_42² + b_5_41·b_5_43 + b_5_41² + b_5_40·b_5_44
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