Cohomology of group number 472 of order 128

About the group Ring generators Ring relations Completion information Restriction maps Back to groups of order 128

General information on the group

  • The group has 3 minimal generators and exponent 4.
  • It is non-abelian.
  • It has p-Rank 4.
  • Its center has rank 2.
  • It has a unique conjugacy class of maximal elementary abelian subgroups, which is of rank 4.

Structure of the cohomology ring

General information

  • The cohomology ring is of dimension 4 and depth 2.
  • The depth coincides with the Duflot bound.
  • The Poincaré series is
    ( − 1) · (t6  −  t5  −  t4  +  2·t3  −  2·t2  +  t  −  1)
    (t  −  1)4 · (t2  +  1) · (t4  +  1)
  • The a-invariants are -∞,-∞,-6,-4,-4. They were obtained using the filter regular HSOP of the Benson test.

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Ring generators

The cohomology ring has 14 minimal generators of maximal degree 8:

  1. a_1_0, a nilpotent element of degree 1
  2. a_1_1, a nilpotent element of degree 1
  3. a_1_2, a nilpotent element of degree 1
  4. a_2_3, a nilpotent element of degree 2
  5. b_2_4, an element of degree 2
  6. b_2_5, an element of degree 2
  7. c_2_6, a Duflot regular element of degree 2
  8. b_3_11, an element of degree 3
  9. b_3_12, an element of degree 3
  10. b_5_22, an element of degree 5
  11. b_5_27, an element of degree 5
  12. b_6_40, an element of degree 6
  13. b_6_41, an element of degree 6
  14. c_8_75, a Duflot regular element of degree 8

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Ring relations

There are 53 minimal relations of maximal degree 12:

  1. a_1_02
  2. a_1_12
  3. a_1_0·a_1_1
  4. a_1_0·a_1_22
  5. a_2_3·a_1_1
  6. a_2_3·a_1_0 + a_1_1·a_1_22
  7. b_2_5·a_1_0 + b_2_4·a_1_1 + a_1_1·a_1_22
  8. a_1_24
  9. a_2_3·a_1_22
  10. a_2_32
  11. a_1_1·b_3_11 + b_2_5·a_1_22
  12. a_1_0·b_3_11 + b_2_4·a_1_22
  13. a_1_1·b_3_12 + a_2_3·b_2_5
  14. a_1_0·b_3_12 + a_2_3·b_2_4
  15. b_2_4·b_2_5·a_1_1 + b_2_42·a_1_1
  16. a_1_22·b_3_11
  17. a_2_3·b_3_11 + a_1_22·b_3_12
  18. b_2_52·a_1_1 + a_2_3·b_3_12 + b_2_4·c_2_6·a_1_0
  19. b_3_112 + b_2_4·b_2_52 + b_2_42·b_2_5 + b_2_4·b_2_5·a_1_22 + b_2_42·a_1_22
  20. b_3_122 + b_2_53 + a_2_3·b_2_52 + a_2_3·b_2_4·b_2_5 + b_2_42·c_2_6
  21. a_1_1·b_5_22 + b_2_52·a_1_22 + b_2_4·b_2_5·a_1_22
  22. a_1_0·b_5_22
  23. a_1_1·b_5_27 + b_2_52·a_1_22
  24. a_1_0·b_5_27 + a_2_3·b_2_4·b_2_5 + a_2_3·b_2_42 + b_2_42·a_1_22
  25. a_1_22·b_5_22
  26. a_2_3·b_5_22 + a_1_22·b_5_27 + b_2_5·a_1_22·b_3_12 + b_2_4·a_1_22·b_3_12
  27. b_2_5·b_5_22 + b_2_52·b_3_11 + b_2_4·b_5_27 + b_2_4·b_5_22 + b_2_4·b_2_5·b_3_12
       + b_2_4·b_2_5·b_3_11 + b_2_42·b_3_12 + b_2_42·b_3_11 + a_2_3·b_5_22
       + a_2_3·b_2_4·b_3_12 + a_2_3·c_2_6·b_3_12 + b_2_4·c_2_62·a_1_0
  28. a_2_3·b_5_27 + a_2_3·b_5_22 + b_2_4·a_1_22·b_3_12 + b_2_42·c_2_6·a_1_1
       + b_2_42·c_2_6·a_1_0
  29. b_6_40·a_1_1 + a_2_3·b_2_5·b_3_12 + a_2_3·b_2_4·b_3_12 + b_2_5·a_1_22·b_3_12
       + b_2_42·c_2_6·a_1_0 + a_2_3·c_2_6·b_3_12 + b_2_4·c_2_62·a_1_1 + b_2_4·c_2_62·a_1_0
       + c_2_62·a_1_1·a_1_22
  30. b_6_40·a_1_0 + a_2_3·b_5_22 + b_2_5·a_1_22·b_3_12 + b_2_42·c_2_6·a_1_1
       + b_2_42·c_2_6·a_1_0 + b_2_4·c_2_62·a_1_0
  31. b_6_41·a_1_1 + a_2_3·b_5_22 + a_2_3·b_2_5·b_3_12 + a_2_3·b_2_4·b_3_12
       + b_2_42·c_2_6·a_1_0 + a_2_3·c_2_6·b_3_12 + b_2_5·c_2_62·a_1_1 + b_2_4·c_2_62·a_1_1
       + b_2_4·c_2_62·a_1_0 + c_2_62·a_1_1·a_1_22
  32. b_6_41·a_1_0 + b_2_4·c_2_62·a_1_1 + b_2_4·c_2_62·a_1_0 + c_2_62·a_1_1·a_1_22
  33. b_6_40·a_1_22 + b_2_53·a_1_22 + b_2_42·b_2_5·a_1_22 + b_2_52·c_2_6·a_1_22
       + b_2_42·c_2_6·a_1_22 + b_2_4·c_2_62·a_1_22
  34. b_3_12·b_5_27 + b_3_12·b_5_22 + b_2_5·b_3_11·b_3_12 + b_2_5·b_6_40 + b_2_54
       + b_2_4·b_3_11·b_3_12 + b_2_4·b_2_53 + a_2_3·b_2_42·b_2_5 + b_2_53·c_2_6
       + b_2_43·c_2_6 + a_2_3·b_2_4·b_2_5·c_2_6 + a_2_3·b_2_42·c_2_6
       + b_2_4·b_2_5·c_2_6·a_1_22 + b_2_4·b_2_5·c_2_62 + b_2_5·c_2_62·a_1_22
  35. b_3_12·b_5_22 + b_2_5·b_3_11·b_3_12 + b_2_4·b_6_40 + b_2_53·a_1_22
       + b_2_42·b_2_5·a_1_22 + b_2_4·b_2_52·c_2_6 + b_2_43·c_2_6 + a_2_3·b_2_52·c_2_6
       + a_2_3·b_2_42·c_2_6 + b_2_42·c_2_6·a_1_22 + b_2_42·c_2_62
       + b_2_4·c_2_62·a_1_22
  36. a_2_3·b_6_40 + a_2_3·b_2_53 + a_2_3·b_2_42·b_2_5 + b_2_53·a_1_22
       + a_2_3·b_2_52·c_2_6 + a_2_3·b_2_42·c_2_6 + b_2_4·b_2_5·c_2_6·a_1_22
       + a_2_3·b_2_4·c_2_62
  37. b_6_41·a_1_22 + b_2_53·a_1_22 + b_2_42·b_2_5·a_1_22 + b_2_52·c_2_6·a_1_22
       + b_2_4·b_2_5·c_2_6·a_1_22 + b_2_5·c_2_62·a_1_22 + b_2_4·c_2_62·a_1_22
  38. b_3_11·b_5_27 + b_3_11·b_5_22 + b_2_5·b_3_11·b_3_12 + b_2_5·b_6_41 + b_2_54
       + b_2_4·b_3_11·b_3_12 + b_2_4·b_2_53 + b_2_42·b_2_52 + b_2_43·b_2_5
       + a_2_3·b_2_53 + b_2_42·b_2_5·a_1_22 + b_2_43·a_1_22 + b_2_53·c_2_6
       + b_2_4·b_2_52·c_2_6 + a_2_3·b_2_52·c_2_6 + b_2_4·b_2_5·c_2_6·a_1_22
       + b_2_42·c_2_6·a_1_22 + b_2_52·c_2_62 + b_2_4·b_2_5·c_2_62
       + b_2_5·c_2_62·a_1_22
  39. b_3_11·b_5_22 + b_2_4·b_6_41 + b_2_42·b_2_52 + b_2_43·b_2_5 + a_2_3·b_2_43
       + b_2_43·a_1_22 + b_2_4·b_2_52·c_2_6 + b_2_42·b_2_5·c_2_6
       + a_2_3·b_2_4·b_2_5·c_2_6 + b_2_52·c_2_6·a_1_22 + b_2_42·c_2_6·a_1_22
       + b_2_4·b_2_5·c_2_62 + b_2_42·c_2_62 + b_2_4·c_2_62·a_1_22
  40. a_2_3·b_6_41 + a_2_3·b_2_53 + a_2_3·b_2_42·b_2_5 + b_2_53·a_1_22
       + b_2_42·b_2_5·a_1_22 + a_2_3·b_2_52·c_2_6 + a_2_3·b_2_4·b_2_5·c_2_6
       + a_2_3·b_2_5·c_2_62 + a_2_3·b_2_4·c_2_62
  41. b_6_40·b_3_12 + b_2_52·b_5_27 + b_2_53·b_3_12 + b_2_4·b_2_5·b_5_27
       + b_2_4·b_2_52·b_3_11 + b_2_42·b_5_27 + b_2_42·b_5_22 + b_2_43·b_3_12
       + b_2_43·b_3_11 + a_2_3·b_2_42·b_3_12 + b_2_52·c_2_6·b_3_12 + b_2_4·c_2_6·b_5_22
       + b_2_4·b_2_5·c_2_6·b_3_11 + b_2_42·c_2_6·b_3_12 + a_2_3·b_2_5·c_2_6·b_3_12
       + b_2_4·c_2_6·a_1_22·b_3_12 + b_2_4·c_2_62·b_3_12 + b_2_42·c_2_62·a_1_0
       + c_2_62·a_1_22·b_3_12
  42. b_6_41·b_3_12 + b_6_40·b_3_11 + b_2_53·b_3_12 + b_2_42·b_2_5·b_3_12
       + a_2_3·b_2_52·b_3_12 + b_2_52·a_1_22·b_3_12 + b_2_4·b_2_5·a_1_22·b_3_12
       + b_2_42·a_1_22·b_3_12 + b_2_52·c_2_6·b_3_12 + b_2_52·c_2_6·b_3_11
       + b_2_4·b_2_5·c_2_6·b_3_12 + b_2_42·c_2_6·b_3_11 + b_2_43·c_2_6·a_1_0
       + a_2_3·b_2_5·c_2_6·b_3_12 + a_2_3·b_2_4·c_2_6·b_3_12 + b_2_5·c_2_62·b_3_12
       + b_2_4·c_2_62·b_3_12 + b_2_4·c_2_62·b_3_11 + b_2_42·c_2_62·a_1_0
       + c_2_62·a_1_22·b_3_12
  43. b_6_41·b_3_11 + b_2_53·b_3_11 + b_2_4·b_2_5·b_5_27 + b_2_4·b_2_52·b_3_12
       + b_2_42·b_2_5·b_3_12 + a_2_3·b_2_42·b_3_12 + b_2_52·a_1_22·b_3_12
       + b_2_4·b_2_5·a_1_22·b_3_12 + b_2_42·a_1_22·b_3_12 + b_2_52·c_2_6·b_3_11
       + b_2_4·b_2_5·c_2_6·b_3_11 + b_2_43·c_2_6·a_1_0 + b_2_5·c_2_6·a_1_22·b_3_12
       + b_2_5·c_2_62·b_3_11 + b_2_4·c_2_62·b_3_11
  44. b_5_222 + b_2_4·b_2_54 + b_2_43·b_2_52
  45. b_5_272 + b_2_4·b_2_54 + b_2_44·b_2_5 + b_2_43·b_2_5·a_1_22 + b_2_44·a_1_22
       + b_2_42·b_2_52·c_2_6 + b_2_44·c_2_6
  46. b_5_22·b_5_27 + b_2_52·b_3_11·b_3_12 + b_2_52·b_6_41 + b_2_55
       + b_2_4·b_2_5·b_3_11·b_3_12 + b_2_4·b_2_5·b_6_41 + b_2_4·b_2_5·b_6_40 + b_2_42·b_6_41
       + b_2_42·b_6_40 + b_2_42·b_2_53 + b_2_43·b_2_52 + b_2_44·b_2_5 + a_2_3·b_2_54
       + a_2_3·b_2_43·b_2_5 + a_2_3·b_2_44 + b_2_44·a_1_22 + b_2_54·c_2_6
       + b_2_4·b_2_53·c_2_6 + b_2_42·b_2_52·c_2_6 + b_2_44·c_2_6 + a_2_3·b_2_53·c_2_6
       + a_2_3·b_2_42·b_2_5·c_2_6 + a_2_3·b_2_43·c_2_6 + b_2_53·c_2_62
       + b_2_42·b_2_5·c_2_62 + b_2_52·c_2_62·a_1_22
  47. b_6_40·b_5_27 + b_6_40·b_5_22 + b_2_5·b_6_40·b_3_11 + b_2_53·b_5_27
       + b_2_4·b_6_40·b_3_11 + b_2_4·b_2_53·b_3_11 + a_2_3·b_2_43·b_3_12
       + b_2_53·a_1_22·b_3_12 + b_2_52·c_2_6·b_5_27 + b_2_4·b_2_5·c_2_6·b_5_27
       + b_2_4·b_2_52·c_2_6·b_3_12 + b_2_4·b_2_52·c_2_6·b_3_11 + b_2_42·c_2_6·b_5_27
       + b_2_42·b_2_5·c_2_6·b_3_12 + b_2_42·b_2_5·c_2_6·b_3_11 + b_2_43·c_2_6·b_3_11
       + b_2_44·c_2_6·a_1_0 + a_2_3·b_2_52·c_2_6·b_3_12 + b_2_52·c_2_6·a_1_22·b_3_12
       + b_2_42·c_2_6·a_1_22·b_3_12 + b_2_4·c_2_62·b_5_27 + b_2_4·c_2_62·b_5_22
       + b_2_4·b_2_5·c_2_62·b_3_11 + b_2_42·c_2_62·b_3_11 + b_2_43·c_2_62·a_1_0
       + a_2_3·b_2_5·c_2_62·b_3_12 + a_2_3·b_2_4·c_2_62·b_3_12 + c_2_62·a_1_22·b_5_27
       + b_2_42·c_2_63·a_1_1 + b_2_42·c_2_63·a_1_0
  48. b_6_41·b_5_22 + b_2_54·b_3_11 + b_2_4·b_2_53·b_3_11 + b_2_42·b_2_5·b_5_27
       + b_2_42·b_2_52·b_3_12 + b_2_43·b_2_5·b_3_12 + b_2_43·b_2_5·b_3_11
       + a_2_3·b_2_43·b_3_12 + b_2_53·c_2_6·b_3_11 + b_2_4·b_2_5·c_2_6·b_5_27
       + b_2_4·b_2_52·c_2_6·b_3_12 + b_2_4·b_2_52·c_2_6·b_3_11
       + b_2_42·b_2_5·c_2_6·b_3_12 + b_2_42·b_2_5·c_2_6·b_3_11 + b_2_44·c_2_6·a_1_0
       + a_2_3·b_2_52·c_2_6·b_3_12 + b_2_52·c_2_6·a_1_22·b_3_12
       + b_2_4·b_2_5·c_2_6·a_1_22·b_3_12 + b_2_52·c_2_62·b_3_11 + b_2_4·c_2_62·b_5_27
       + b_2_4·b_2_5·c_2_62·b_3_12 + b_2_4·b_2_5·c_2_62·b_3_11 + b_2_42·c_2_62·b_3_12
       + b_2_42·c_2_62·b_3_11 + a_2_3·b_2_5·c_2_62·b_3_12 + a_2_3·b_2_4·c_2_62·b_3_12
       + c_2_62·a_1_22·b_5_27 + b_2_5·c_2_62·a_1_22·b_3_12
       + b_2_4·c_2_62·a_1_22·b_3_12 + b_2_42·c_2_63·a_1_1 + a_2_3·c_2_63·b_3_12
       + b_2_4·c_2_64·a_1_0
  49. b_6_41·b_5_27 + b_6_40·b_5_27 + b_2_5·b_6_40·b_3_11 + b_2_54·b_3_11
       + b_2_4·b_2_53·b_3_12 + b_2_4·b_2_53·b_3_11 + b_2_42·b_2_52·b_3_11
       + b_2_43·b_2_5·b_3_12 + b_2_43·b_2_5·b_3_11 + b_2_53·a_1_22·b_3_12
       + b_2_42·b_2_5·a_1_22·b_3_12 + b_2_53·c_2_6·b_3_11 + b_2_4·b_2_5·c_2_6·b_5_27
       + b_2_42·b_2_5·c_2_6·b_3_12 + b_2_42·b_2_5·c_2_6·b_3_11 + b_2_43·c_2_6·b_3_12
       + b_2_43·c_2_6·b_3_11 + b_2_44·c_2_6·a_1_0 + b_2_52·c_2_6·a_1_22·b_3_12
       + b_2_4·b_2_5·c_2_6·a_1_22·b_3_12 + b_2_42·c_2_6·a_1_22·b_3_12
       + b_2_5·c_2_62·b_5_27 + b_2_4·b_2_5·c_2_62·b_3_11
  50. b_6_40·b_5_22 + b_2_5·b_6_40·b_3_11 + b_2_4·b_2_53·b_3_12 + b_2_42·b_2_52·b_3_12
       + b_2_53·a_1_22·b_3_12 + b_2_42·b_2_5·a_1_22·b_3_12 + b_2_4·b_2_5·c_2_6·b_5_27
       + b_2_4·b_2_52·c_2_6·b_3_12 + b_2_42·c_2_6·b_5_27 + b_2_42·b_2_5·c_2_6·b_3_11
       + b_2_43·c_2_6·b_3_12 + b_2_43·c_2_6·b_3_11 + a_2_3·b_2_52·c_2_6·b_3_12
       + a_2_3·b_2_42·c_2_6·b_3_12 + c_8_75·a_1_1·a_1_22 + b_2_4·c_2_62·b_5_22
       + b_2_4·b_2_5·c_2_62·b_3_11 + a_2_3·b_2_5·c_2_62·b_3_12
       + a_2_3·b_2_4·c_2_62·b_3_12 + b_2_42·c_2_63·a_1_1 + b_2_42·c_2_63·a_1_0
  51. b_6_402 + b_2_56 + b_2_4·b_2_55 + b_2_42·b_2_53·c_2_6 + b_2_43·b_2_52·c_2_6
       + b_2_54·c_2_62 + b_2_44·c_2_62 + b_2_42·c_2_64
  52. b_6_40·b_6_41 + b_2_53·b_3_11·b_3_12 + b_2_53·b_6_40 + b_2_4·b_2_52·b_3_11·b_3_12
       + b_2_42·b_2_5·b_6_40 + a_2_3·b_2_55 + a_2_3·b_2_44·b_2_5 + b_2_55·a_1_22
       + b_2_52·c_2_6·b_6_41 + b_2_52·c_2_6·b_6_40 + b_2_55·c_2_6
       + b_2_4·b_2_5·c_2_6·b_6_40 + b_2_42·c_2_6·b_6_41 + b_2_44·b_2_5·c_2_6
       + a_2_3·b_2_54·c_2_6 + a_2_3·b_2_43·b_2_5·c_2_6 + b_2_54·c_2_6·a_1_22
       + b_2_43·b_2_5·c_2_6·a_1_22 + b_2_5·c_2_62·b_6_40 + b_2_54·c_2_62
       + b_2_4·c_2_62·b_6_41 + b_2_4·c_2_62·b_6_40 + b_2_42·b_2_52·c_2_62
       + b_2_53·c_2_62·a_1_22 + b_2_53·c_2_63 + b_2_43·c_2_63 + b_2_4·b_2_5·c_2_64
       + b_2_42·c_2_64
  53. b_6_412 + b_2_56 + b_2_4·b_2_55 + b_2_43·b_2_53 + b_2_44·b_2_52
       + b_2_54·c_2_62 + b_2_42·b_2_52·c_2_62 + b_2_52·c_2_64 + b_2_42·c_2_64

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Data used for Benson′s test

  • Benson′s completion test succeeded in degree 12.
  • The completion test was perfect: It applied in the last degree in which a generator or relation was found.
  • The following is a filter regular homogeneous system of parameters:
    1. c_2_6, a Duflot regular element of degree 2
    2. c_8_75, a Duflot regular element of degree 8
    3. b_2_52 + b_2_4·b_2_5 + b_2_42, an element of degree 4
    4. b_3_11, an element of degree 3
  • The Raw Filter Degree Type of that HSOP is [-1, -1, 4, 10, 13].
  • The filter degree type of any filter regular HSOP is [-1, -2, -3, -4, -4].
  • We found that there exists some filter regular HSOP formed by the first 2 terms of the above HSOP, together with 2 elements of degree 2.

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Restriction maps

Restriction map to the greatest central el. ab. subgp., which is of rank 2

  1. a_1_0 → 0, an element of degree 1
  2. a_1_1 → 0, an element of degree 1
  3. a_1_2 → 0, an element of degree 1
  4. a_2_3 → 0, an element of degree 2
  5. b_2_4 → 0, an element of degree 2
  6. b_2_5 → 0, an element of degree 2
  7. c_2_6 → c_1_02, an element of degree 2
  8. b_3_11 → 0, an element of degree 3
  9. b_3_12 → 0, an element of degree 3
  10. b_5_22 → 0, an element of degree 5
  11. b_5_27 → 0, an element of degree 5
  12. b_6_40 → 0, an element of degree 6
  13. b_6_41 → 0, an element of degree 6
  14. c_8_75 → c_1_18, an element of degree 8

Restriction map to a maximal el. ab. subgp. of rank 4

  1. a_1_0 → 0, an element of degree 1
  2. a_1_1 → 0, an element of degree 1
  3. a_1_2 → 0, an element of degree 1
  4. a_2_3 → 0, an element of degree 2
  5. b_2_4 → c_1_32, an element of degree 2
  6. b_2_5 → c_1_22, an element of degree 2
  7. c_2_6 → c_1_02, an element of degree 2
  8. b_3_11 → c_1_2·c_1_32 + c_1_22·c_1_3, an element of degree 3
  9. b_3_12 → c_1_23 + c_1_0·c_1_32, an element of degree 3
  10. b_5_22 → c_1_22·c_1_33 + c_1_24·c_1_3, an element of degree 5
  11. b_5_27 → c_1_2·c_1_34 + c_1_24·c_1_3 + c_1_0·c_1_34 + c_1_0·c_1_22·c_1_32, an element of degree 5
  12. b_6_40 → c_1_25·c_1_3 + c_1_26 + c_1_0·c_1_22·c_1_33 + c_1_0·c_1_23·c_1_32
       + c_1_02·c_1_34 + c_1_02·c_1_24 + c_1_04·c_1_32, an element of degree 6
  13. b_6_41 → c_1_22·c_1_34 + c_1_23·c_1_33 + c_1_25·c_1_3 + c_1_26
       + c_1_02·c_1_22·c_1_32 + c_1_02·c_1_24 + c_1_04·c_1_32 + c_1_04·c_1_22, an element of degree 6
  14. c_8_75 → c_1_22·c_1_36 + c_1_26·c_1_32 + c_1_28 + c_1_12·c_1_22·c_1_34
       + c_1_12·c_1_24·c_1_32 + c_1_14·c_1_34 + c_1_14·c_1_22·c_1_32
       + c_1_14·c_1_24 + c_1_18 + c_1_0·c_1_2·c_1_36 + c_1_0·c_1_23·c_1_34
       + c_1_02·c_1_22·c_1_34 + c_1_02·c_1_23·c_1_33 + c_1_02·c_1_24·c_1_32
       + c_1_02·c_1_25·c_1_3 + c_1_02·c_1_26 + c_1_04·c_1_34
       + c_1_04·c_1_22·c_1_32 + c_1_06·c_1_32 + c_1_06·c_1_22, an element of degree 8

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Simon A. King David J. Green
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Last change: 25.08.2009