Cohomology of group number 646 of order 128

About the group Ring generators Ring relations Completion information Restriction maps Back to groups of order 128


General information on the group

  • The group has 3 minimal generators and exponent 8.
  • It is non-abelian.
  • It has p-Rank 4.
  • Its center has rank 1.
  • It has 4 conjugacy classes of maximal elementary abelian subgroups, which are of rank 3, 3, 4 and 4, respectively.


Structure of the cohomology ring

General information

  • The cohomology ring is of dimension 4 and depth 2.
  • The depth exceeds the Duflot bound, which is 1.
  • The Poincaré series is
    t6  −  2·t5  +  3·t4  −  3·t3  +  2·t2  −  t  +  1

    (t  −  1)4 · (t2  +  1) · (t4  +  1)
  • The a-invariants are -∞,-∞,-4,-4,-4. They were obtained using the filter regular HSOP of the Benson test.

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Ring generators

The cohomology ring has 12 minimal generators of maximal degree 8:

  1. a_1_0, a nilpotent element of degree 1
  2. b_1_1, an element of degree 1
  3. b_1_2, an element of degree 1
  4. b_2_3, an element of degree 2
  5. b_2_4, an element of degree 2
  6. b_2_5, an element of degree 2
  7. b_2_6, an element of degree 2
  8. b_3_11, an element of degree 3
  9. b_5_23, an element of degree 5
  10. b_5_25, an element of degree 5
  11. b_6_34, an element of degree 6
  12. c_8_59, a Duflot regular element of degree 8

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Ring relations

There are 32 minimal relations of maximal degree 12:

  1. a_1_02
  2. a_1_0·b_1_1
  3. b_1_1·b_1_2 + a_1_0·b_1_2
  4. b_2_3·a_1_0
  5. b_2_3·b_1_2 + b_2_4·a_1_0
  6. b_2_4·b_1_1 + b_2_3·b_1_2 + b_2_3·b_1_1
  7. b_2_5·b_1_2 + b_2_4·b_1_2 + b_2_6·a_1_0 + b_2_5·a_1_0
  8. b_2_3·b_1_12 + b_2_32
  9. b_2_3·b_1_12 + b_2_3·b_2_4 + b_2_4·a_1_0·b_1_2
  10. b_2_4·b_1_22 + b_2_42 + b_2_3·b_1_12 + b_2_6·a_1_0·b_1_2
  11. b_1_2·b_3_11 + b_2_4·b_2_6 + b_2_4·b_2_5 + b_2_3·b_2_6 + b_2_3·b_2_5 + b_2_4·a_1_0·b_1_2
  12. b_2_4·b_2_5 + b_2_42 + b_2_3·b_1_12 + b_2_3·b_2_5 + a_1_0·b_3_11 + b_2_4·a_1_0·b_1_2
  13. b_2_62·a_1_0 + b_2_5·b_2_6·a_1_0 + b_2_4·b_2_6·a_1_0
  14. b_2_4·b_3_11 + b_2_4·b_2_6·b_1_2 + b_2_42·b_1_2 + b_2_3·b_3_11 + b_2_52·a_1_0
       + b_2_42·a_1_0
  15. b_1_2·b_5_23 + b_2_6·b_1_24 + b_2_42·b_2_6 + b_2_32·b_2_6 + b_2_6·a_1_0·b_1_23
       + b_2_4·b_2_6·a_1_0·b_1_2
  16. a_1_0·b_5_23 + b_2_6·a_1_0·b_3_11 + b_2_6·a_1_0·b_1_23
  17. b_3_112 + b_1_1·b_5_23 + b_1_16 + b_2_6·b_1_1·b_3_11 + b_2_6·b_1_14
       + b_2_62·b_1_12 + b_2_5·b_1_1·b_3_11 + b_2_5·b_1_14 + b_2_5·b_2_62 + b_2_52·b_2_6
       + b_2_53 + b_2_42·b_2_6 + b_2_3·b_1_1·b_3_11 + b_2_32·b_2_6 + b_2_32·b_2_5 + b_2_33
       + b_2_6·a_1_0·b_3_11 + b_2_6·a_1_0·b_1_23
  18. a_1_0·b_5_25 + b_2_6·a_1_0·b_1_23 + b_2_4·b_2_6·a_1_0·b_1_2
  19. b_1_1·b_5_25 + b_2_5·b_1_14 + b_2_5·b_2_6·b_1_12 + b_2_3·b_2_62
       + b_2_3·b_2_5·b_2_6 + b_2_32·b_2_6 + b_2_33 + b_2_6·a_1_0·b_1_23
  20. b_2_4·b_5_23 + b_2_3·b_5_23 + b_2_52·b_2_6·a_1_0 + b_2_42·b_2_6·a_1_0
  21. b_2_3·b_5_25 + b_2_3·b_2_62·b_1_1 + b_2_32·b_2_6·b_1_1 + b_2_32·b_2_5·b_1_1
       + b_2_33·b_1_1
  22. b_6_34·b_1_2 + b_2_63·b_1_2 + b_2_4·b_5_25 + b_2_42·b_2_6·b_1_2 + b_2_43·b_1_2
       + b_2_3·b_2_62·b_1_1 + b_2_32·b_2_6·b_1_1 + b_2_32·b_2_5·b_1_1 + b_2_33·b_1_1
       + b_2_42·b_2_6·a_1_0 + b_2_43·a_1_0
  23. b_6_34·a_1_0 + b_2_42·b_2_6·a_1_0 + b_2_43·a_1_0
  24. b_1_12·b_5_23 + b_1_17 + b_6_34·b_1_1 + b_2_6·b_1_15 + b_2_62·b_1_13
       + b_2_63·b_1_1 + b_2_5·b_1_12·b_3_11 + b_2_5·b_2_6·b_1_13 + b_2_52·b_2_6·b_1_1
       + b_2_3·b_5_23 + b_2_3·b_2_6·b_3_11 + b_2_3·b_2_62·b_1_1 + b_2_3·b_2_5·b_2_6·b_1_1
       + b_2_3·b_2_52·b_1_1 + b_2_32·b_2_6·b_1_1 + b_2_33·b_1_1 + b_2_42·b_2_6·a_1_0
       + b_2_43·a_1_0
  25. b_2_3·b_6_34 + b_2_3·b_2_6·b_1_1·b_3_11 + b_2_3·b_2_63 + b_2_3·b_2_5·b_1_1·b_3_11
       + b_2_3·b_2_52·b_2_6 + b_2_32·b_2_52 + b_2_43·a_1_0·b_1_2
  26. b_2_4·b_1_2·b_5_25 + b_2_4·b_6_34 + b_2_4·b_2_63 + b_2_43·b_2_6 + b_2_44
       + b_2_3·b_2_6·b_1_1·b_3_11 + b_2_3·b_2_5·b_1_1·b_3_11 + b_2_3·b_2_52·b_2_6
       + b_2_32·b_2_52 + b_2_33·b_2_6 + b_2_34 + b_2_5·b_2_6·a_1_0·b_3_11
       + b_2_42·b_2_6·a_1_0·b_1_2 + b_2_43·a_1_0·b_1_2
  27. b_5_252 + b_2_62·b_1_26 + b_2_52·b_1_16 + b_2_52·b_2_62·b_1_12
       + b_2_4·b_2_64 + b_2_43·b_2_62 + b_2_3·b_2_52·b_2_62 + b_2_35
       + b_2_52·b_2_6·a_1_0·b_3_11 + b_2_43·b_2_6·a_1_0·b_1_2
  28. b_5_23·b_5_25 + b_2_6·b_3_11·b_5_25 + b_2_6·b_1_23·b_5_25 + b_2_62·b_1_1·b_5_23
       + b_2_62·b_1_16 + b_2_62·b_6_34 + b_2_63·b_1_14 + b_2_64·b_1_12 + b_2_65
       + b_2_5·b_1_18 + b_2_5·b_6_34·b_1_12 + b_2_5·b_2_6·b_1_13·b_3_11
       + b_2_5·b_2_6·b_6_34 + b_2_5·b_2_63·b_1_12 + b_2_5·b_2_64 + b_2_52·b_1_13·b_3_11
       + b_2_52·b_2_6·b_1_1·b_3_11 + b_2_52·b_2_6·b_1_14 + b_2_52·b_2_62·b_1_12
       + b_2_52·b_2_63 + b_2_53·b_2_6·b_1_12 + b_2_53·b_2_62 + b_2_4·b_2_6·b_6_34
       + b_2_4·b_2_64 + b_2_3·b_2_6·b_1_1·b_5_23 + b_2_3·b_2_64 + b_2_3·b_2_5·b_1_1·b_5_23
       + b_2_3·b_2_52·b_2_62 + b_2_3·b_2_53·b_2_6 + b_2_32·b_1_1·b_5_23
       + b_2_32·b_2_6·b_1_1·b_3_11 + b_2_32·b_2_63 + b_2_32·b_2_53 + b_2_33·b_2_62
       + b_2_34·b_2_5 + b_2_52·b_2_6·a_1_0·b_3_11
  29. b_5_232 + b_1_110 + b_2_6·b_1_18 + b_2_62·b_1_26 + b_2_62·b_1_13·b_3_11
       + b_2_62·b_1_16 + b_2_5·b_6_34·b_1_12 + b_2_5·b_2_6·b_1_1·b_5_23
       + b_2_5·b_2_6·b_1_13·b_3_11 + b_2_5·b_2_6·b_1_16 + b_2_5·b_2_63·b_1_12
       + b_2_52·b_1_16 + b_2_52·b_2_6·b_1_14 + b_2_52·b_2_62·b_1_12
       + b_2_52·b_2_63 + b_2_53·b_1_14 + b_2_53·b_2_6·b_1_12 + b_2_42·b_2_63
       + b_2_43·b_2_62 + b_2_3·b_2_5·b_2_6·b_1_1·b_3_11 + b_2_32·b_2_52·b_2_6
       + b_2_32·b_2_53 + b_2_33·b_1_1·b_3_11 + b_2_33·b_2_62 + b_2_34·b_2_5 + b_2_35
       + b_2_52·b_2_6·a_1_0·b_3_11 + b_2_43·b_2_6·a_1_0·b_1_2 + c_8_59·b_1_12
  30. b_6_34·b_5_25 + b_2_63·b_5_25 + b_2_5·b_6_34·b_1_13 + b_2_5·b_2_6·b_6_34·b_1_1
       + b_2_5·b_2_63·b_1_13 + b_2_5·b_2_64·b_1_1 + b_2_52·b_2_6·b_5_25
       + b_2_53·b_2_6·b_1_13 + b_2_53·b_2_62·b_1_1 + b_2_4·b_2_64·b_1_2 + b_2_43·b_5_25
       + b_2_3·b_2_63·b_3_11 + b_2_3·b_2_52·b_2_6·b_3_11 + b_2_3·b_2_52·b_2_62·b_1_1
       + b_2_3·b_2_53·b_2_6·b_1_1 + b_2_32·b_2_62·b_3_11 + b_2_32·b_2_5·b_2_6·b_3_11
       + b_2_32·b_2_52·b_2_6·b_1_1 + b_2_33·b_2_6·b_3_11 + b_2_33·b_2_62·b_1_1
       + b_2_33·b_2_5·b_3_11 + b_2_33·b_2_52·b_1_1 + b_2_34·b_2_6·b_1_1
       + b_2_34·b_2_5·b_1_1 + b_2_35·b_1_1
  31. b_6_34·b_5_23 + b_6_34·b_1_15 + b_2_6·b_1_1·b_3_11·b_5_23 + b_2_6·b_1_16·b_3_11
       + b_2_6·b_1_19 + b_2_6·b_6_34·b_3_11 + b_2_6·b_6_34·b_1_13 + b_2_62·b_6_34·b_1_1
       + b_2_63·b_5_23 + b_2_63·b_1_12·b_3_11 + b_2_63·b_1_15 + b_2_64·b_3_11
       + b_2_65·b_1_1 + b_2_5·b_1_1·b_3_11·b_5_23 + b_2_5·b_1_16·b_3_11
       + b_2_5·b_6_34·b_1_13 + b_2_5·b_2_6·b_6_34·b_1_1 + b_2_5·b_2_62·b_5_25
       + b_2_5·b_2_62·b_1_12·b_3_11 + b_2_5·b_2_62·b_1_15 + b_2_5·b_2_64·b_1_1
       + b_2_52·b_1_17 + b_2_52·b_2_6·b_5_25 + b_2_52·b_2_6·b_5_23
       + b_2_52·b_2_6·b_1_15 + b_2_52·b_2_62·b_3_11 + b_2_53·b_1_15
       + b_2_53·b_2_62·b_1_1 + b_2_54·b_2_6·b_1_1 + b_2_43·b_2_62·b_1_2
       + b_2_44·b_2_6·b_1_2 + b_2_3·b_2_62·b_5_23 + b_2_3·b_2_63·b_3_11
       + b_2_3·b_2_5·b_2_6·b_5_23 + b_2_3·b_2_5·b_2_62·b_3_11 + b_2_3·b_2_5·b_2_63·b_1_1
       + b_2_3·b_2_52·b_5_23 + b_2_3·b_2_52·b_2_6·b_3_11 + b_2_3·b_2_53·b_2_6·b_1_1
       + b_2_32·b_2_63·b_1_1 + b_2_32·b_2_5·b_2_6·b_3_11 + b_2_32·b_2_5·b_2_62·b_1_1
       + b_2_32·b_2_52·b_3_11 + b_2_34·b_2_6·b_1_1 + b_2_44·b_2_6·a_1_0 + c_8_59·b_1_13
       + b_2_3·c_8_59·b_1_1
  32. b_6_342 + b_2_6·b_1_110 + b_2_62·b_1_15·b_3_11 + b_2_64·b_1_14 + b_2_66
       + b_2_5·b_6_34·b_1_14 + b_2_5·b_2_6·b_1_15·b_3_11 + b_2_5·b_2_6·b_6_34·b_1_12
       + b_2_5·b_2_62·b_1_16 + b_2_5·b_2_64·b_1_12 + b_2_52·b_1_18
       + b_2_52·b_6_34·b_1_12 + b_2_52·b_2_6·b_1_16 + b_2_52·b_2_62·b_1_14
       + b_2_54·b_2_62 + b_2_55·b_1_12 + b_2_42·b_2_64 + b_2_46
       + b_2_3·b_2_62·b_1_1·b_5_23 + b_2_3·b_2_63·b_1_1·b_3_11 + b_2_3·b_2_5·b_2_64
       + b_2_3·b_2_52·b_1_1·b_5_23 + b_2_3·b_2_52·b_2_6·b_1_1·b_3_11
       + b_2_3·b_2_53·b_2_62 + b_2_32·b_2_64 + b_2_32·b_2_5·b_2_63 + b_2_33·b_2_63
       + b_2_33·b_2_5·b_2_62 + b_2_33·b_2_53 + b_2_34·b_2_52 + b_2_35·b_2_6 + b_2_36
       + c_8_59·b_1_14 + b_2_32·c_8_59


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Data used for Benson′s test

  • Benson′s completion test succeeded in degree 17.
  • However, the last relation was already found in degree 12 and the last generator in degree 8.
  • The following is a filter regular homogeneous system of parameters:
    1. c_8_59, a Duflot regular element of degree 8
    2. b_1_24 + b_1_14 + b_2_62 + b_2_5·b_2_6 + b_2_52 + b_2_4·b_2_6 + b_2_42 + b_2_3·b_2_6
         + b_2_32, an element of degree 4
    3. b_1_2·b_5_25 + b_2_6·b_1_24 + b_2_62·b_1_22 + b_2_62·b_1_12
         + b_2_5·b_2_6·b_1_12 + b_2_5·b_2_62 + b_2_52·b_1_12 + b_2_52·b_2_6, an element of degree 6
    4. b_1_12, an element of degree 2
  • The Raw Filter Degree Type of that HSOP is [-1, -1, 8, 14, 16].
  • The filter degree type of any filter regular HSOP is [-1, -2, -3, -4, -4].


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Restriction maps

Restriction map to the greatest central el. ab. subgp., which is of rank 1

  1. a_1_00, an element of degree 1
  2. b_1_10, an element of degree 1
  3. b_1_20, an element of degree 1
  4. b_2_30, an element of degree 2
  5. b_2_40, an element of degree 2
  6. b_2_50, an element of degree 2
  7. b_2_60, an element of degree 2
  8. b_3_110, an element of degree 3
  9. b_5_230, an element of degree 5
  10. b_5_250, an element of degree 5
  11. b_6_340, an element of degree 6
  12. c_8_59c_1_08, an element of degree 8

Restriction map to a maximal el. ab. subgp. of rank 3

  1. a_1_00, an element of degree 1
  2. b_1_10, an element of degree 1
  3. b_1_2c_1_1, an element of degree 1
  4. b_2_30, an element of degree 2
  5. b_2_40, an element of degree 2
  6. b_2_50, an element of degree 2
  7. b_2_6c_1_22 + c_1_1·c_1_2, an element of degree 2
  8. b_3_110, an element of degree 3
  9. b_5_23c_1_13·c_1_22 + c_1_14·c_1_2, an element of degree 5
  10. b_5_25c_1_13·c_1_22 + c_1_14·c_1_2, an element of degree 5
  11. b_6_34c_1_26 + c_1_1·c_1_25 + c_1_12·c_1_24 + c_1_13·c_1_23, an element of degree 6
  12. c_8_59c_1_28 + c_1_14·c_1_24 + c_1_02·c_1_12·c_1_24 + c_1_02·c_1_14·c_1_22
       + c_1_04·c_1_24 + c_1_04·c_1_12·c_1_22 + c_1_04·c_1_14 + c_1_08, an element of degree 8

Restriction map to a maximal el. ab. subgp. of rank 3

  1. a_1_00, an element of degree 1
  2. b_1_10, an element of degree 1
  3. b_1_2c_1_2, an element of degree 1
  4. b_2_30, an element of degree 2
  5. b_2_4c_1_22, an element of degree 2
  6. b_2_5c_1_22, an element of degree 2
  7. b_2_6c_1_1·c_1_2 + c_1_12, an element of degree 2
  8. b_3_11c_1_23 + c_1_1·c_1_22 + c_1_12·c_1_2, an element of degree 3
  9. b_5_230, an element of degree 5
  10. b_5_25c_1_12·c_1_23 + c_1_14·c_1_2, an element of degree 5
  11. b_6_34c_1_26 + c_1_1·c_1_25 + c_1_13·c_1_23 + c_1_15·c_1_2 + c_1_16, an element of degree 6
  12. c_8_59c_1_1·c_1_27 + c_1_18 + c_1_02·c_1_12·c_1_24 + c_1_02·c_1_14·c_1_22
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Restriction map to a maximal el. ab. subgp. of rank 4

  1. a_1_00, an element of degree 1
  2. b_1_1c_1_3, an element of degree 1
  3. b_1_20, an element of degree 1
  4. b_2_30, an element of degree 2
  5. b_2_40, an element of degree 2
  6. b_2_5c_1_1·c_1_3 + c_1_12, an element of degree 2
  7. b_2_6c_1_2·c_1_3 + c_1_22, an element of degree 2
  8. b_3_11c_1_2·c_1_32 + c_1_22·c_1_3 + c_1_1·c_1_32 + c_1_1·c_1_22 + c_1_12·c_1_2
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  9. b_5_23c_1_35 + c_1_2·c_1_34 + c_1_24·c_1_3 + c_1_1·c_1_34 + c_1_1·c_1_22·c_1_32
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       + c_1_04·c_1_3, an element of degree 5
  10. b_5_25c_1_1·c_1_34 + c_1_1·c_1_2·c_1_33 + c_1_1·c_1_22·c_1_32 + c_1_12·c_1_33
       + c_1_12·c_1_2·c_1_32 + c_1_12·c_1_22·c_1_3, an element of degree 5
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Restriction map to a maximal el. ab. subgp. of rank 4

  1. a_1_00, an element of degree 1
  2. b_1_1c_1_3, an element of degree 1
  3. b_1_20, an element of degree 1
  4. b_2_3c_1_32, an element of degree 2
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  7. b_2_6c_1_2·c_1_3 + c_1_22, an element of degree 2
  8. b_3_11c_1_33 + c_1_1·c_1_22 + c_1_12·c_1_3 + c_1_12·c_1_2 + c_1_13 + c_1_0·c_1_32
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  9. b_5_23c_1_22·c_1_33 + c_1_24·c_1_3 + c_1_1·c_1_34 + c_1_1·c_1_23·c_1_3
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  10. b_5_25c_1_35 + c_1_2·c_1_34 + c_1_24·c_1_3 + c_1_1·c_1_34 + c_1_12·c_1_33, an element of degree 5
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       + c_1_04·c_1_14 + c_1_08, an element of degree 8


About the group Ring generators Ring relations Completion information Restriction maps Back to groups of order 128




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