Einführung in die numerische Mathematik und das wissenschaftliche Rechnen (WS 25/26)
vulgo "Numerik 0"

Dozent:	Dietmar Gallistl
Vorlesungsdaten	siehe Friedolin: VL, Ü --- Die Termine am 04. und 05. Februar 2026 entfallen ersatzlos.

Übungsblätter

Die Übungsblätter werden donnerstags ausgegeben und in der Übungsstunde der darauffolgenden Woche besprochen.

• Blatt 1 (Besprechung am 23.10.)
• Blatt 2 (Besprechung am 30.10.)
• Blatt 3 (Besprechung am 06.11.)
• Blatt 4 (Besprechung am 14.11.)
• Selbsttest/Pseudoklausur 1 (am 13.11. 16-18h in Anwesenheit -- Besprechung am 14.11.)
• Blatt 5 (Besprechung am 20.11.)
• Blatt 6 (Besprechung am 27.11.)
• Blatt 7 (Besprechung am 04.12.)
• Blatt 8 (Besprechung am 11.12.)
• Blatt 9 (Besprechung am 08.01.)
• Selbsttest/Pseudoklausur 2 (am 18.12. 16-18h in Anwesenheit -- Besprechung am 19.12.)
• Blatt 10 (Besprechung am 15.01.)
• Blatt 11 (Besprechung am 22.01.)
• Selbsttest/Pseudoklausur 3 (Fragen ab dem 15.01. jederzeit in der Übung möglich)
• Blatt 12 (Besprechung am 29.01.)

Programmierung

Im Rahmen der Übungen werden die Algorithmen in Python umgesetzt.

• Ein Jupyter-Notbook zur Einführung finden Sie hier.
• Elementare Fixpunktiteration (16.10): banach.py
• Fixpunktiteration aus Aufgabe 1.4 (23.10): aufgabe_01_4.py
• Newton-Verfahren zur Berechnung von log(2) aus Aufgabe 2.4 (30.10): newton_log2.py
• Newton-Verfahren (mit Jacobi für LGS) aus Aufgabe 3.2 (6.11): newton_aufgabe_3.2.py
• Zusammengesetzte Trapez-/Simpson-Quadratur aus Aufgabe 4.3 (14.11): quadratur_aufgabe_4.3.py
• Hilbert-Matrix aus Aufgabe 4.4 (14.11): hilbertmatrix_aufgabe_4.4.py
• QR-Zerlegung mit Householder (20.11): qr.py
• Kleinste-Quadrate-Lösung (27.11): leastsquares_aufgabe_6.4.py
• Chebyshev-Punkte mittels Tridiagonalmatrix und QR (27.11): chebyshevpunkte_aufgabe_6.3.py
• Lagrange-Interpolation: lagrange_interpolation.py
• L2-Bestapproximation mit Legendre-Polynomen (4.12): L2best_aufgabe_7.1.py
• Erstellung einer dünnbesetzten Bandmatrix (11.12): matrix_aufgabe_8.4.py
• Einfache FEM-Realisierung (Januar): fem_beispiel.py
• Netzverfeinerung (Januar): red_refine.py
• Wellengleichung (Januar): welle.py
• FEM mit einfacher cg-Iteration (Januar): fem_cg_test.py

Klausur

Klausurtermin: 12. Februar 2026, 9:00 Uhr: Verblindliche Daten in Friedolin LINK

Termin für die Wiederholungsprüfung: 25. März 2026, 9:00 Uhr: Verbindliche Daten in Friedolin LINK

Zulassung zur Klausur: es gibt keine Zulassungsvoraussetzungen innerhalb der Veranstaltung

Hilfsmittel: alles in Papierform (Skript, Bücher, Notizen, ...) darf mitgebracht und verwendet werden

Klausureinsicht: jeweils am Tag nach der Klausur 9-10 Uhr, in Zimmer 2053, Inselplatz 5

Literatur

• Informelle Mitschriften finden Sie hier.
• Deuflhard/Hohmann: Numerische Mathematik. DeGruyter.
• Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 1+2. Springer.
• Atkinson/Han: Theoretical Numerical Analysis. Springer
• Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer

Inhalt der Vorlesung

• 1. Iterationen in Banachräumen
  • 16.10.: §1.1 Der Banachsche Fixpunktsatz; Kriterium für Kontraktionseigenschaft über die Ableitung
  • 17.10.: §1.2 Störungstheorie linearer Abbildungen; Neumann-Reihe; (Spektral-)Konditionszahl
  • 23.10.: §1.3 Das Newton-Verfahren; lokaler Konvergenzsatz
  • 24.10.: §1.4 Stationäre Iterationen; Konvergenz von Richardson- und Jacobi-Iteration, Satz von Gerschgorin
• 2. Projektionen
  • 30.10.: §2.1 Stabilität von Projektionen, Interpolation; Stabilität und Fehlerabschätzung der Lagrange-Interpolation
  • 06.11.: §2.2 Approximation linearer Funktionale, Quadratur; Interpolatorische Quadraturformeln, Fehlerabschätzungen für Trapez-/Simpson-/Mittelpunkregel
• 3. Orthogonale Projektionen
  • 07.11.: §3.1 Der Projektionssatz, Darstellungssatz von Riesz
  • 13.11.: §3.2 Orthogonalisierung und QR-Zerlegung; Householder
  • 14.11.: Übung
  • 20.11.: §3.3 Minimierung quadratischer Funktionale, kleinste Fehlerquadrate, singuläre Werte
  • 21.11.: §3.4 Orthogonale Polynome; Rekursionsformel, Nullstellen
  • 27.11.: §3.5 Chebysev-Punkte; Minmax-Eigenschaft
  • 28.11.: §3.6 L2-Approximation; punktweise Konvergenz der L2-Chebyshev-Approximation
  • 04.12.: §3.7 Gauß-Quadratur
  • 05.12.: §3.8 cg-Verfahren
• 4. Etwas numerisches Hintergrundwissen
  • 11.12.: §4.1 Vergleich direkter und iterativer Lösungsverfahren; Aufwand, Stabilität, dünnbesetzte Matrizen
  • 12.12.: §4.2 Fehlerrechnung; Gleitkommazahlen, Kondition, Stabilität
  • 18.12.: Zusammenfassung und Überblick Kapitel 1-4
  • 19.12.: Übung und Vorschau auf Kapitel 5
• 5. Finite-Elemente-Methode (Referenz: Abschnitte §1.1 und §§3.2--3.7 in folgendem Skript)
  • 08.01.: §5.1 Poissongleichung, schwache Ableitung
  • 09.01.: §5.2 Spursatz, Friedrichs-Ungleichung, Dirichlet-Problem im Sobolevraum
  • 15.01.: §5.3 Unterraum-Verfahren, Triangulierungen, Finite-Elemente-Räume
  • 16.01.: §5.4 Finite-Elemente-Methode, nodale Basis, Interpolation
  • 22.01.: §5.5 Abschäzung des Intepolations- und des Diskretisierungsfehlers
  • 23.10.: §5.6 Implementierung der FEM
  • 29.01.: §5.7 Wellengleichung
  • 30.01.: Fragestunde