| Dozent: | Dietmar Gallistl |
| Vorlesungsdaten: | VL, Übung |
Die Übungsblätter werden donnerstags ausgegeben und in der Übungsstunde der darauffolgenden Woche besprochen.
Termin für die Wiederholungsprüfung: 28. April 2020: 9-11 Uhr, HS 4 Abbeanum,
Klausurtermin: 26. Februar 2020: 9-11 Uhr, HS 1 Abbeanum. Einlass bis 9:10.
Zulassung zur Klausur: Zur Klausur wird zugelassen, wer in der Übung zweimal vorgerechnet und insgesamt mindestens die Hälfte der Übungsaufgaben vollständig bearbeitet hat. Abweichende Vereinbarungen nach Absprache.
Hilfsmittel: Ein handbeschriebenes A4-Blatt mit beliebigen Notizen darf mitgebracht werden.
Klausureinsicht: Am Tag nach der Klausur (also am 27. Feb), 9-10 Uhr, Ernst-Abbe-Platz 2, Zimmer 3533.
| 16. Okt: | (1) Fehleranalyse und Grundlagen. §1.1 Gleitkommazahlen. Fest-/Gleitpunktdarstellung, Maschinenzahlen, Rundung, Maschinengenauigkeit, Maschinenoperationen, §1.2 Konditionierung numerischer Aufgaben. Konditionierung, relativer und absoluter Fehler Konditionszahlen, Auslöschung |
|---|---|
| 17. Okt: | §1.3 Stabilität numerischer Algorithmen. Algorithmen, Stabilität von Algorithmen, Vorwärtsrundungsfehleranalyse, Horner-Schema. §1.4 Normierte Räume und Innenprodukträume. (Vektor)normen, Konvergenz |
| 23. Okt: | Matrizennormen, Operatornorm, Skalarprodukte, von der euklidischen Norm erzeugte Operatornorm, Spektralnorm, §1.5 Orthogonalpolynome und Drei-Term-Rekursion. das Gram-Schmidt-Verfahren und seine numerische Instabilität, Existenz der QR-Zerlegung |
| 24. Okt: | L2-Skalarprodukt, Orthogonalpolynome, Legendre- und Čebyšëv-Polynome (Tschebyscheff-Polynome), Nullstellen von Orthogonalpolynomen, abstrakte Drei-Term-Rekursion und Anwendung auf Orthogonalpolynome |
| 30. Okt: | (2) Rekonstruktion und Approximation von Funktionen. §2.1 Kondition der Lagrange-Interpolationsaufgabe. Lagrange-Interpolationsaufgabe, eindeutige Lösbarkeit, Lagrange-Basis, Kondition, §2.2 Darstellung in der Newton-Basis. Satz über dividierte Differenzen |
| 6. Nov | Newton-Basispolynome, Newton-Darstellung, Neville-Schema, Richardson-Extrapolation, §2.3 Approximationsfehler. Fehlerdarstellung der Lagrange-Interpolation |
| 7. Nov | minmax-Eigenschaften der Čebyšëv-Polynome, Wahl der Stützstellen bei der Lagrange-Interpolation, §2.4 Spline-Interpolation. Spline-Funktionen, interpolierender natürlicher kubischer Spline |
| 13. Nov | Existenz und Eindeutigkeit des interpolierenden natürlichen kubischen Splines, Minimierungseigenschaft, Berechnung von Splines, §2.5 Trigonometrische Interpolation. Existenz und Eindeutigkeit der (komplexwertigen) trigonometrischen Interpolierenden |
| 14. Nov | Diskrete Fourier-Transformation (DFT), Rekursionsbeziehungen in der DFT, Schnelle-Fourier-Transformation (FFT), Bit-Umkehr, Komplexität der FFT, Darstellung reellwertiger trigonometrischer Polynome durch Sinus und Cosinus, (3) Numerische Integration. §3.1 Newton-Cotes-Formeln. Herleitung von Quadraturformeln, Exaktheitsgrad bzw. Ordnung einer Quadraturformel, Newton-Cotes-Formeln |
| 20. Nov | Beispiele für Newton-Cotes-Formeln, Restglieddarstellungen für Trapez-, Simpson- und Mittelpunktregel, summierte Newton-Cotes-Formeln und ihre Restglieddarstellung, §3.2 Gauß-Quadratur. Satz über die maximale Ordnung interpolatorischer Quadraturformeln, Idee der Gauß-Quadratur |
| 21. Nov | Konstruktion, Existenz, Eindeutigkeit, Konvergenz der Gauß-Quadratur, (4) Lineare Gleichungssysteme. §4.1 Störungstheorie. Neumannsche Reihe |
| 27. Nov | Störungssatz, Konditionszahl, Spektralkondition, §4.2 Gauß-Elimination und LR-Zerlegung. Permutations- und Frobeniusmatrizen, Gauß-Algorithmus, Pivotsuche, Systeme in Dreiecksgestalt |
| 28. Nov | LR-Zerlegung (Existenz und Algorithmus), §4.3 Nichtreguläre Systeme und Orthogonalisierung. Residuum, Kleinste-Quadrate-Lösung, Gaußsche Normalgleichung, Äquivalenz- und Existenzsatz, Pseudoinverse und ihre Kondition |
| 04. Dez | QR-Zerlegung durch Householder-Transformationen, Householder-Algorithmus |
| 05. Dez | §4.4 Klassische Iterationsverfahren. Fixpunktiteration, Spektralradius, Charakterisierungssatz für Konvergenz, Konvergenzgeschwindigkeit, Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren, starke/schwache Zeilensummenbedingung, zerfallende vs. irreduzible Matrizen |
| 11. Dez | Konvergenzkriterien für Jacobi und Gauß-Seidel, Speicherung dünn besetzter Matrizen, SOR-Verfahren, §4.5 Das cg-Verfahren. Minimierung quadratischer Funktionale, Energienorm, Abstiegsverfahren |
| 12. Dez | Gradientenverfahren, Krylow-Räume, Galerkin-Verfahren, Lemma über konjugierte Richtungen, |
| 18. Dez | cg-Verfahren und seine Eigenschaften |
| 19. Dez | Konvergenzssatz für das cg-Verfahren, Vorkonditionierung |
| 08. Jan | (5) Nichtlineare Gleichungen. §5.1 Fixpunktiteration. Banachscher Fixpunktsatz, Schrankensatz, Kriterien für die Anwendbarkeit der Fixpunktiteration, §5.2 Das Newton-Verfahren. |
| 09. Jan | Newton Verfahren, Satz von Newton-Kantorovich, Beweis des Satzes (Teil 1/2) |
| 15. Jan | Beweis des Satzes (Teil 2/2) |
| 16. Jan | Modifikationen des Newton-Verfahrens, §5.3 Sekantenverfahren. Sekantenverfahren mit Konvergenzsatz; Illustration mit Julia-Mengen, Programm: julia.m, Beispiel 1: f(z)=z^3-1 jpg-Datei (616KB), Beispiel 2: f(z)=x^5-x^3-1 jpg-Datei (724KB) (jeweils ohne Dämpfung) |
| 22. Jan | (6) Numerik von Eigenwertaufgaben. §6.1 Grundlagen. Satz über die Gerschgorin-Kreise, Konditionierung des Eigenwertproblems, Potenzmethode |
| 23. Jan | Konvergenzsatz zur Potenzmethode, Inverse Iteration nach Wielandt, Shift-Technik, §6.2 Das QR-Verfahren. Idee des QR-Verfahrens, Hessenberg-/Tridiagonalmatrizen, Reduktion auf Hessenberg-Gestalt |
| 29. Jan | QR-Algorithmus, Komplexitätsbetrachtungen, Konvergenz des QR-Verfahrens |
| 30. Jan | §6.3 Krylowraum-Verfahren. Rayleigh-Quotient, Verfahren von Lanczos, Konvergenzsatz |
| 05. Feb | §6.4 Stochastische Eigenwertprobleme. Spektraleigenschaften positiver und nichtnegativer Matrizen, Satz von Perron |
| 06. Feb | Satz von Perron-Frobenius, Anwendungsbeispiel: page rank bei Suchmaschinen |
