Kleine Gruppe Nr. 4 der Ordnung 125

G = M125 ist die extraspezielle 5-Gruppe der Ordnung 125 und vom Exponenten 25

G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 25. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 6 maximalen Untergruppen sind: C25 (5mal), V25.

Es gibt eine Konjugationsklasse maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Jede hat Rang 2.

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 8 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• x im Grad 2
• w im Grad 3, ein nilpotentes Element
• u im Grad 5, ein nilpotentes Element
• s im Grad 7, ein nilpotentes Element
• q im Grad 9, ein nilpotentes Element
• p im Grad 10, ein reguläres Element

Es gibt 20 minimale Relationen:

• y₂² = 0
• y₁² = 0
• y₁.x = 0
• y₁.w = 0
• x.w = 0
• w² = 0
• y₁.u = 0
• x.u = 0
• w.u = 0
• y₁.s = 0
• x.s = 0
• u² = 0
• w.s = 0
• y₁.q = 0
• u.s = 0
• w.q = 0
• s² = 0
• u.q = 0
• s.q = 0
• q² = 0

Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis für das Relationenideal.

Ideal essentieller Klassen: Es gibt 4 minimale Erzeuger:

• y₁.y₂
• y₂.w
• y₂.u
• y₂.s

Nilradikal: Es gibt 6 minimale Erzeuger:

• y₂
• y₁
• w
• u
• s
• q

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 18 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 18. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 18. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 1. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = p im Grad 10
• h₂ = x im Grad 2

Der erste Term h₁ bildet eine reguläre Folge maximaler Länge. Der letzte Term h₂ wird von der Klasse y₁ annulliert.

Der erste Term h₁ bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist frei vom Rang 4 als Modul über die Polynomalgebra auf h₁. Eine Basis dieses freien Moduls ist:

• G₁ = y₁.y₂ im Grad 2
• G₂ = y₂.w im Grad 4
• G₃ = y₂.u im Grad 6
• G₄ = y₂.s im Grad 8

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 12 sind.

• 1 im Grad 0
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• y₁.y₂ im Grad 2
• w im Grad 3
• y₂.w im Grad 4
• u im Grad 5
• y₂.u im Grad 6
• s im Grad 7
• y₂.s im Grad 8
• q im Grad 9
• y₂.q im Grad 10

Eine Basis für Ann_R/(h1)(h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 10 sind.

• y₁ im Grad 1
• y₁.y₂ im Grad 2
• w im Grad 3
• y₂.w im Grad 4
• u im Grad 5
• y₂.u im Grad 6
• s im Grad 7
• y₂.s im Grad 8

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V25

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x hat Einschränkung x₁
• w hat Einschränkung 0
• u hat Einschränkung 0
• s hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung y₂.x₁⁴ - y₁.x₁³.x₂
• p hat Einschränkung - x₂⁵ + x₁⁴.x₂ + y₁.y₂.x₁⁴

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu C25

• y₁ hat Einschränkung y
• y₂ hat Einschränkung 0
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung y.x
• u hat Einschränkung - 2y.x²
• s hat Einschränkung y.x³
• q hat Einschränkung - y.x⁴
• p hat Einschränkung - x⁵

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu C25

• y₁ hat Einschränkung - y
• y₂ hat Einschränkung y
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung y.x
• u hat Einschränkung 2y.x²
• s hat Einschränkung y.x³
• q hat Einschränkung y.x⁴
• p hat Einschränkung x⁵

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu C25

• y₁ hat Einschränkung 2y
• y₂ hat Einschränkung y
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung - y.x
• u hat Einschränkung - y.x²
• s hat Einschränkung y.x³
• q hat Einschränkung - 2y.x⁴
• p hat Einschränkung - 2x⁵

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu C25

• y₁ hat Einschränkung y
• y₂ hat Einschränkung y
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung y.x
• u hat Einschränkung - 2y.x²
• s hat Einschränkung y.x³
• q hat Einschränkung - y.x⁴
• p hat Einschränkung - x⁵

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu C25

• y₁ hat Einschränkung - 2y
• y₂ hat Einschränkung y
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung - y.x
• u hat Einschränkung y.x²
• s hat Einschränkung y.x³
• q hat Einschränkung 2y.x⁴
• p hat Einschränkung 2x⁵

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V25

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• x hat Einschränkung x₂
• w hat Einschränkung 0
• u hat Einschränkung 0
• s hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung - y₂.x₁.x₂³ + y₁.x₂⁴
• p hat Einschränkung x₁.x₂⁴ - x₁⁵ - y₁.y₂.x₂⁴

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C5

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung 0
• u hat Einschränkung 0
• s hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 2x⁵

Poincaré-Reihe

(1 + 2t + t²) / (1 - t²) (1 - t¹⁰)