Kleine Gruppe Nr. 2 der Ordnung 243
G ist die Gruppe 243gp2
G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 3 und Exponenten 9.
Das Zentrum hat Rang 3.
Die 4 maximalen Untergruppen sind:
Ab(9,3,3) (4mal).
Es gibt eine Konjugationsklasse maximaler elementar-abelscher
Untergruppen. Jede hat Rang 3.
Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.
Ringstruktur
| Informationen zur Vollständigkeit
| Koszul-Informationen
| Einschränkungen auf Untergruppen
| Poincaré-Reihe
Der Kohomologiering hat 7 Erzeuger:
- y1 im Grad 1, ein nilpotentes Element
- y2 im Grad 1, ein nilpotentes Element
- x1 im Grad 2, ein nilpotentes Element
- x2 im Grad 2, ein nilpotentes Element
- x3 im Grad 2, ein reguläres Element
- x4 im Grad 2, ein reguläres Element
- x5 im Grad 2, ein reguläres Element
Es gibt 9 minimale Relationen:
- y22 =
0
- y1.y2 =
0
- y12 =
0
- y2.x2 =
- y1.x2
- y2.x1 =
y1.x2
- y1.x1 =
0
- x22 =
0
- x1.x2 =
0
- x12 =
0
Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis
für das Relationenideal.
Ideal essentieller Klassen:
Es gibt einen minimalen Erzeuger:
Nilradikal:
Es gibt 4 minimale Erzeuger:
Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis
zum Grad 6 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings
ist ab dem 4. Grad stabil.
Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 6. Grad
fest.
Dieser Kohomologiering hat Dimension 3 und Tiefe 3.
Ein homogenes Parametersystem ist
- h1 =
x3
im Grad 2
- h2 =
x4
im Grad 2
- h3 =
x5
im Grad 2
Die ersten 3 Terme h1, h2, h3 bilden
eine reguläre Folge maximaler Länge.
Die ersten 3 Terme h1, h2, h3 bilden
eine vollständige Duflot-reguläre Folge.
Daß heißt, ihre Einschränkungen auf die größte
zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bilden eine
reguläre Folge maximaler Länge.
Das Ideal essentieller Klassen ist
frei vom Rang 1 als Modul über die Polynomalgebra
auf h1, h2, h3.
Eine Basis dieses freien Moduls ist:
Jedes Produkt zweier essentieller Klassen ist Null.
Eine Basis für R/(h1, h2, h3) ist wie folgt.
Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente
vom Grad kleiner als 6 sind.
-
1
im Grad 0
-
y2
im Grad 1
-
y1
im Grad 1
-
x2
im Grad 2
-
x1
im Grad 2
-
y1.x2
im Grad 3
Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 81gp11
- y1 hat Einschränkung
0
- y2 hat Einschränkung
y1
- x1 hat Einschränkung
0
- x2 hat Einschränkung
y1.y2
- x3 hat Einschränkung
x1
+ y1.y3
+ y1.y2
- x4 hat Einschränkung
x2
- x5 hat Einschränkung
x3
Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 81gp11
- y1 hat Einschränkung
y1
- y2 hat Einschränkung
0
- x1 hat Einschränkung
- y1.y3
- x2 hat Einschränkung
y1.y3
- x3 hat Einschränkung
x2
- y1.y3
- y1.y2
- x4 hat Einschränkung
x3
- x5 hat Einschränkung
x1
Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 81gp11
- y1 hat Einschränkung
- y1
- y2 hat Einschränkung
y1
- x1 hat Einschränkung
y1.y3
- x2 hat Einschränkung
0
- x3 hat Einschränkung
x2
- y1.y3
+ y1.y2
- x4 hat Einschränkung
- x3
- x5 hat Einschränkung
x3
+ x1
Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 81gp11
- y1 hat Einschränkung
y1
- y2 hat Einschränkung
y1
- x1 hat Einschränkung
- y1.y3
- x2 hat Einschränkung
- y1.y3
- x3 hat Einschränkung
x2
- y1.y2
- x4 hat Einschränkung
x3
- x5 hat Einschränkung
x3
+ x1
Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V27
- y1 hat Einschränkung
0
- y2 hat Einschränkung
0
- x1 hat Einschränkung
0
- x2 hat Einschränkung
0
- x3 hat Einschränkung
x3
- x4 hat Einschränkung
x3
+ x1
- x5 hat Einschränkung
x2
Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu V27
- y1 hat Einschränkung
0
- y2 hat Einschränkung
0
- x1 hat Einschränkung
0
- x2 hat Einschränkung
0
- x3 hat Einschränkung
x3
- x2
- x4 hat Einschränkung
x2
- x1
- x5 hat Einschränkung
- x1
(1 + 2t + 2t2
+ t3) /
(1 - t2)3
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