Kleine Gruppe Nr. 3 der Ordnung 27
G = E27 ist die extraspezielle 3-Gruppe der Ordnung 27 und vom Exponenten 3
G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 3.
Das Zentrum hat Rang 1.
Die 4 maximalen Untergruppen sind:
V9 (4mal).
Es gibt 4 Konjugationsklassen maximaler
elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang
2 (4mal).
Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.
Ringstruktur
| Informationen zur Vollständigkeit
| Koszul-Informationen
| Einschränkungen auf Untergruppen
| Poincaré-Reihe
Der Kohomologiering hat 9 Erzeuger:
- y1 im Grad 1, ein nilpotentes Element
- y2 im Grad 1, ein nilpotentes Element
- x1 im Grad 2
- x2 im Grad 2
- x3 im Grad 2
- x4 im Grad 2
- w1 im Grad 3, ein nilpotentes Element
- w2 im Grad 3, ein nilpotentes Element
- t im Grad 6, ein reguläres Element
Es gibt 21 minimale Relationen:
- y22 =
0
- y1.y2 =
0
- y12 =
0
- y2.x4 =
y1.x1
- y2.x2 =
- y1.x2
- y2.x1 =
y1.x2
+ y1.x1
- y1.x3 =
y1.x1
- x3.x4 =
x1.x2
+ x12
- x2.x4 =
- x1.x2
+ y1.w1
- x2.x3 =
x1.x2
+ y2.w2
+ y1.w2
- y1.w1
- x22 =
x1.x2
+ y1.w2
- y1.w1
- x1.x4 =
x1.x2
+ x12
- y1.w1
- x1.x3 =
x12
+ y1.w2
- y1.w1
- y2.w1 =
y1.w2
- y1.w1
- x4.w2 =
x4.w1
+ x1.w1
- y1.x1.x2
- x3.w1 =
x1.w1
- x2.w2 =
y1.x1.x2
- x2.w1 =
x1.w2
+ x1.w1
- y1.x1.x2
- w22 =
0
- w1.w2 =
- y1.x1.w2
- y1.x1.w1
- w12 =
0
Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis
für das Relationenideal.
Ideal essentieller Klassen:
Nullideal
Nilradikal:
Es gibt 4 minimale Erzeuger:
Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis
zum Grad 12 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings
ist ab dem 6. Grad stabil.
Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 8. Grad
fest.
Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 2.
Ein homogenes Parametersystem ist
- h1 =
t
im Grad 6
- h2 =
x4
+ x3
- x2
im Grad 2
Die ersten 2 Terme h1, h2 bilden
eine reguläre Folge maximaler Länge.
Der erste Term h1 bildet
eine vollständige Duflot-reguläre Folge.
Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte
zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine
reguläre Folge maximaler Länge.
Das Ideal essentieller Klassen ist
das Nullideal.
Eine Basis für R/(h1, h2) ist wie folgt.
Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente
vom Grad kleiner als 8 sind.
-
1
im Grad 0
-
y2
im Grad 1
-
y1
im Grad 1
-
x3
im Grad 2
-
x2
im Grad 2
-
x1
im Grad 2
-
w2
im Grad 3
-
w1
im Grad 3
-
y1.x2
im Grad 3
-
y1.x1
im Grad 3
-
y2.w2
im Grad 4
-
y1.w2
im Grad 4
-
y1.w1
im Grad 4
-
x1.w2
im Grad 5
-
x1.w1
im Grad 5
-
y1.x1.w1
im Grad 6
Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V9
- y1 hat Einschränkung
0
- y2 hat Einschränkung
y1
- x1 hat Einschränkung
0
- x2 hat Einschränkung
y1.y2
- x3 hat Einschränkung
x1
- x4 hat Einschränkung
0
- w1 hat Einschränkung
0
- w2 hat Einschränkung
y2.x1
- y1.x2
- t hat Einschränkung
x23
- x12.x2
Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V9
- y1 hat Einschränkung
y1
- y2 hat Einschränkung
0
- x1 hat Einschränkung
- y1.y2
- x2 hat Einschränkung
y1.y2
- x3 hat Einschränkung
0
- x4 hat Einschränkung
x1
- w1 hat Einschränkung
y2.x1
- y1.x2
- w2 hat Einschränkung
y2.x1
- y1.x2
- t hat Einschränkung
x23
- x12.x2
- y1.y2.x12
Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu V9
- y1 hat Einschränkung
- y1
- y2 hat Einschränkung
y1
- x1 hat Einschränkung
x1
+ y1.y2
- x2 hat Einschränkung
x1
- x3 hat Einschränkung
x1
- x4 hat Einschränkung
- x1
- w1 hat Einschränkung
- y2.x1
+ y1.x2
+ y1.x1
- w2 hat Einschränkung
- y1.x1
- t hat Einschränkung
x23
- x12.x2
+ x13
+ y1.y2.x12
Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu V9
- y1 hat Einschränkung
y1
- y2 hat Einschränkung
y1
- x1 hat Einschränkung
x1
- y1.y2
- x2 hat Einschränkung
- y1.y2
- x3 hat Einschränkung
x1
- x4 hat Einschränkung
x1
- w1 hat Einschränkung
y2.x1
- y1.x2
- w2 hat Einschränkung
- y2.x1
+ y1.x2
- t hat Einschränkung
x23
- x12.x2
Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V9
- y1 hat Einschränkung
y2
+ y1
- y2 hat Einschränkung
0
- x1 hat Einschränkung
y1.y2
- x2 hat Einschränkung
- y1.y2
- x3 hat Einschränkung
0
- x4 hat Einschränkung
x2
+ x1
- w1 hat Einschränkung
- y2.x1
+ y1.x2
- w2 hat Einschränkung
- y2.x1
+ y1.x2
- t hat Einschränkung
- x1.x22
+ x12.x2
+ y1.y2.x22
- y1.y2.x1.x2
+ y1.y2.x12
Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V9
- y1 hat Einschränkung
0
- y2 hat Einschränkung
y2
- x1 hat Einschränkung
0
- x2 hat Einschränkung
- y1.y2
- x3 hat Einschränkung
x2
- x4 hat Einschränkung
0
- w1 hat Einschränkung
0
- w2 hat Einschränkung
- y2.x1
+ y1.x2
- t hat Einschränkung
- x1.x22
+ x13
Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 3, isomorph zu V9
- y1 hat Einschränkung
y2
- y2 hat Einschränkung
y2
- x1 hat Einschränkung
x2
+ y1.y2
- x2 hat Einschränkung
y1.y2
- x3 hat Einschränkung
x2
- x4 hat Einschränkung
x2
- w1 hat Einschränkung
- y2.x1
+ y1.x2
- w2 hat Einschränkung
y2.x1
- y1.x2
- t hat Einschränkung
- x1.x22
+ x13
Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 4, isomorph zu V9
- y1 hat Einschränkung
- y2
- y2 hat Einschränkung
y2
- x1 hat Einschränkung
x2
- y1.y2
- x2 hat Einschränkung
x2
- x3 hat Einschränkung
x2
- x4 hat Einschränkung
- x2
- w1 hat Einschränkung
y2.x2
+ y2.x1
- y1.x2
- w2 hat Einschränkung
- y2.x2
- t hat Einschränkung
x23
- x1.x22
+ x13
- y1.y2.x22
Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C3
- y1 hat Einschränkung
0
- y2 hat Einschränkung
0
- x1 hat Einschränkung
0
- x2 hat Einschränkung
0
- x3 hat Einschränkung
0
- x4 hat Einschränkung
0
- w1 hat Einschränkung
0
- w2 hat Einschränkung
0
- t hat Einschränkung
- x3
(1 + 2t + 3t2
+ 4t3 + 3t4 + 2t5
+ t6) /
(1 - t2) (1 - t6)
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