Kleine Gruppe Nr. 4 der Ordnung 27

G = M27 ist die extraspezielle 3-Gruppe der Ordnung 27 und vom Exponenten 9

G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 9. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 4 maximalen Untergruppen sind: C9 (3mal), V9.

Es gibt eine Konjugationsklasse maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Jede hat Rang 2.

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 6 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• x im Grad 2
• w im Grad 3, ein nilpotentes Element
• u im Grad 5, ein nilpotentes Element
• t im Grad 6, ein reguläres Element

Es gibt 9 minimale Relationen:

• y₂² = 0
• y₁² = 0
• y₁.x = 0
• y₁.w = 0
• x.w = 0
• w² = 0
• y₁.u = 0
• w.u = 0
• u² = 0

Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis für das Relationenideal.

Ideal essentieller Klassen: Es gibt 2 minimale Erzeuger:

• y₁.y₂
• y₂.w

Nilradikal: Es gibt 4 minimale Erzeuger:

• y₂
• y₁
• w
• u

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 12 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 10. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 10. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 1. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = t im Grad 6
• h₂ = x im Grad 2

Der erste Term h₁ bildet eine reguläre Folge maximaler Länge. Der letzte Term h₂ wird von der Klasse y₁ annulliert.

Der erste Term h₁ bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist frei vom Rang 2 als Modul über die Polynomalgebra auf h₁. Eine Basis dieses freien Moduls ist:

• G₁ = y₁.y₂ im Grad 2
• G₂ = y₂.w im Grad 4

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 8 sind.

• 1 im Grad 0
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• y₁.y₂ im Grad 2
• w im Grad 3
• y₂.w im Grad 4
• u im Grad 5
• y₂.u im Grad 6

Eine Basis für Ann_R/(h1)(h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 6 sind.

• y₁ im Grad 1
• y₁.y₂ im Grad 2
• w im Grad 3
• y₂.w im Grad 4

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V9

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x hat Einschränkung x₁
• w hat Einschränkung 0
• u hat Einschränkung y₂.x₁² - y₁.x₁.x₂
• t hat Einschränkung - x₂³ + x₁².x₂ - y₁.y₂.x₁²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu C9

• y₁ hat Einschränkung y
• y₂ hat Einschränkung 0
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung y.x
• u hat Einschränkung - y.x²
• t hat Einschränkung - x³

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu C9

• y₁ hat Einschränkung - y
• y₂ hat Einschränkung y
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung y.x
• u hat Einschränkung y.x²
• t hat Einschränkung x³

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu C9

• y₁ hat Einschränkung y
• y₂ hat Einschränkung y
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung y.x
• u hat Einschränkung - y.x²
• t hat Einschränkung - x³

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V9

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• x hat Einschränkung x₂
• w hat Einschränkung 0
• u hat Einschränkung - y₂.x₁.x₂ + y₁.x₂²
• t hat Einschränkung x₁.x₂² - x₁³ + y₁.y₂.x₂²

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C3

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung 0
• u hat Einschränkung 0
• t hat Einschränkung - x³

Poincaré-Reihe

(1 + 2t + t²) / (1 - t²) (1 - t⁶)