Kleine Gruppe Nr. 3 der Ordnung 343

G = E343 ist die extraspezielle 7-Gruppe der Ordnung 343 und vom Exponenten 7

G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 7. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 8 maximalen Untergruppen sind: V49 (8mal).

Es gibt 8 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 2 (8mal).

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 16 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• x₁ im Grad 2, ein nilpotentes Element
• x₂ im Grad 2, ein nilpotentes Element
• x₃ im Grad 2
• x₄ im Grad 2
• w₁ im Grad 3, ein nilpotentes Element
• w₂ im Grad 3, ein nilpotentes Element
• s im Grad 7, ein nilpotentes Element
• r im Grad 8, ein nilpotentes Element
• q im Grad 9, ein nilpotentes Element
• p im Grad 10, ein nilpotentes Element
• o im Grad 11, ein nilpotentes Element
• n im Grad 12
• m im Grad 13, ein nilpotentes Element
• l im Grad 14, ein reguläres Element

Es gibt 104 minimale Relationen:

• y₂² = 0
• y₁.y₂ = 0
• y₁² = 0
• y₂.x₄ = y₁.x₃
• y₂.x₂ = - y₁.x₂
• y₂.x₁ = y₁.x₂
• y₁.x₁ = 0
• x₂.x₄ = - 3y₂.w₁ + 2y₁.w₂ + 2y₁.w₁
• x₂.x₃ = - y₂.w₂ - 3y₂.w₁ - 3y₁.w₂ - y₁.w₁
• x₁.x₄ = y₁.w₁
• x₁.x₃ = - 2y₂.w₁ + 3y₁.w₂ + y₁.w₁
• x₂² = 0
• x₁.x₂ = 0
• x₁² = 0
• x₄.w₂ = 2x₄.w₁ + x₃.w₁ - 3y₁.x₃.x₄ - 3y₁.x₃²
• x₂.w₂ = x₁.w₂
• x₂.w₁ = x₁.w₂
• x₁.w₁ = 0
• w₂² = 0
• w₁² = 0
• y₂.s = 0
• y₁.s = 0
• x₄.s = 0
• x₃.s = 0
• x₂.s = 0
• x₁.s = 0
• y₂.r = 0
• y₁.r = 0
• x₄.r = 0
• x₃.r = 0
• w₂.s = 0
• w₁.s = 0
• x₂.r = 0
• x₁.r = 0
• y₂.q = 0
• y₁.q = 0
• x₄.q = 0
• x₃.q = 0
• w₂.r = 0
• w₁.r = 0
• x₂.q = 0
• x₁.q = 0
• y₂.p = 0
• y₁.p = 0
• x₄.p = 0
• x₃.p = 0
• w₂.q = 0
• w₁.q = 0
• x₂.p = 0
• x₁.p = 0
• y₂.o = 2y₂.x₃⁴.w₂ + y₁.x₃.x₄³.w₁ + 3y₁.x₃⁴.w₂ - 2y₁.x₃⁴.w₁
• y₁.o = y₁.x₄⁴.w₁ - 3y₁.x₃³.x₄.w₁ + 2y₁.x₃⁴.w₂ + 3y₁.x₃⁴.w₁
• x₄.o = x₄⁵.w₁ - 3x₃³.x₄².w₁ + 2x₃⁵.w₁ - y₁.x₃.x₄⁵ + y₁.x₃³.x₄³ + y₁.x₃⁴.x₄² + y₁.x₃⁵.x₄ - 3y₁.x₃⁶
• x₃.o = x₃.x₄⁴.w₁ - 3x₃⁴.x₄.w₁ + 2x₃⁵.w₂ + 3x₃⁵.w₁ + 3y₁.x₃.x₄⁵ - y₁.x₃².x₄⁴ + y₁.x₃⁴.x₄² + y₁.x₃⁵.x₄
• y₂.n = y₁.x₃.x₄⁵ + 2y₁.x₃².x₄⁴ + 2y₁.x₃³.x₄³ + y₁.x₃⁴.x₄²
• y₁.n = 2y₁.x₃.x₄⁵ + 2y₁.x₃².x₄⁴ + y₁.x₃³.x₄³ + y₁.x₃⁶
• w₂.p = 0
• w₁.p = 0
• x₂.o = 0
• x₁.o = 0
• x₄.n = 2x₃.x₄⁶ + 2x₃².x₄⁵ + x₃³.x₄⁴ + x₃⁶.x₄ - 3y₁.x₄⁵.w₁ - 3y₁.x₃.x₄⁴.w₁ - y₁.x₃².x₄³.w₁ - 2y₁.x₃³.x₄².w₁ + 2y₁.x₃⁴.x₄.w₁ + 3y₁.x₃⁵.w₂ - 3y₁.x₃⁵.w₁
• x₃.n = x₃.x₄⁶ + 2x₃².x₄⁵ + 2x₃³.x₄⁴ + x₃⁴.x₄³ + 3y₂.x₃⁵.w₂ - 3y₁.x₃.x₄⁴.w₁ - 3y₁.x₃².x₄³.w₁ - y₁.x₃³.x₄².w₁ - 2y₁.x₃⁴.x₄.w₁ - 3y₁.x₃⁵.w₂ + y₁.x₃⁵.w₁
• x₂.n = - 3y₁.x₃.x₄⁴.w₁ + 3y₁.x₃².x₄³.w₁ - 3y₁.x₃³.x₄².w₁ - y₁.x₃⁴.x₄.w₁ - y₁.x₃⁵.w₂ + 2y₁.x₃⁵.w₁
• x₁.n = 2y₁.x₃.x₄⁴.w₁ + 2y₁.x₃².x₄³.w₁ + y₁.x₃³.x₄².w₁ + y₁.x₃⁵.w₂ - 2y₁.x₃⁵.w₁
• s² = 0
• w₂.o = 3y₁.x₃.x₄⁴.w₁ - 2y₁.x₃².x₄³.w₁ - 2y₁.x₃³.x₄².w₁ - y₁.x₃⁴.x₄.w₁ - y₁.x₃⁵.w₂ + y₁.x₃⁵.w₁
• w₁.o = y₁.x₃.x₄⁴.w₁ - y₁.x₃³.x₄².w₁ - y₁.x₃⁴.x₄.w₁ + 3y₁.x₃⁵.w₂
• y₂.m = y₁.x₃.x₄⁴.w₁ + 3y₁.x₃².x₄³.w₁ + 2y₁.x₃³.x₄².w₁ + y₁.x₃⁴.x₄.w₁ + y₁.x₃⁵.w₁
• y₁.m = 3y₁.x₃.x₄⁴.w₁ + 2y₁.x₃².x₄³.w₁ + y₁.x₃³.x₄².w₁ + y₁.x₃⁴.x₄.w₁ + y₁.x₃⁵.w₂ - 2y₁.x₃⁵.w₁
• w₂.n = - 2x₃.x₄⁵.w₁ - x₃².x₄⁴.w₁ - 3x₃³.x₄³.w₁ + x₃⁴.x₄².w₁ + 2x₃⁶.w₁ - 2y₁.x₃².x₄⁵ + 2y₁.x₃³.x₄⁴ - 2y₁.x₃⁴.x₄³ - 3y₁.x₃⁵.x₄² - 3y₁.x₃⁷
• w₁.n = 2x₃.x₄⁵.w₁ + 2x₃².x₄⁴.w₁ + x₃³.x₄³.w₁ + x₃⁶.w₁
• x₄.m = 3x₃.x₄⁵.w₁ + 2x₃².x₄⁴.w₁ + x₃³.x₄³.w₁ + x₃⁴.x₄².w₁ + x₃⁶.w₁ - 2y₁.x₃².x₄⁵ - 3y₁.x₃⁴.x₄³ + 2y₁.x₃⁵.x₄² + 3y₁.x₃⁷
• x₃.m = x₃.x₄⁵.w₁ + 3x₃².x₄⁴.w₁ + 2x₃³.x₄³.w₁ + x₃⁴.x₄².w₁ + x₃⁵.x₄.w₁ + 3y₁.x₃².x₄⁵ - 2y₁.x₃³.x₄⁴ - 3y₁.x₃⁵.x₄² + 2y₁.x₃⁶.x₄
• s.r = 0
• x₂.m = 0
• x₁.m = 0
• r² = 0
• s.q = 0
• w₂.m = 3y₁.x₃².x₄⁴.w₁ + y₁.x₃³.x₄³.w₁ - 3y₁.x₃⁴.x₄².w₁ - 2y₁.x₃⁶.w₂ - y₁.x₃⁶.w₁
• w₁.m = 2y₁.x₃².x₄⁴.w₁ + 3y₁.x₃⁴.x₄².w₁ - 2y₁.x₃⁵.x₄.w₁ - 3y₁.x₃⁶.w₂ - y₁.x₃⁶.w₁
• r.q = 0
• s.p = 0
• q² = 0
• r.p = 0
• s.o = 0
• s.n = 0
• q.p = 0
• r.o = 0
• r.n = 0
• p² = 0
• q.o = 0
• s.m = 0
• q.n = 0
• p.o = 0
• r.m = 0
• p.n = 0
• o² = 0
• q.m = 0
• o.n = 3x₃⁵.x₄⁵.w₁ + 2x₃⁶.x₄⁴.w₁ - x₃⁷.x₄³.w₁ - 3x₃⁸.x₄².w₁ - 2x₃⁹.x₄.w₁ + x₃¹⁰.w₁ + 2y₁.x₃⁶.x₄⁵ + 3y₁.x₃⁷.x₄⁴ + 3y₁.x₃⁹.x₄² + 2y₁.x₃¹⁰.x₄ - 2y₁.x₃¹¹
• p.m = 0
• n² = 2x₃⁶.x₄⁶ - 3x₃⁷.x₄⁵ + x₃⁸.x₄⁴ + 3x₃⁹.x₄³ + x₃¹⁰.x₄² - 3x₃¹¹.x₄ + 2y₁.x₃⁶.x₄⁴.w₁ + 3y₁.x₃⁷.x₄³.w₁ - y₁.x₃⁸.x₄².w₁ + y₁.x₃⁹.x₄.w₁ - 3y₁.x₃¹⁰.w₂ - y₁.x₃¹⁰.w₁
• o.m = - 3y₁.x₃⁶.x₄⁴.w₁ + y₁.x₃⁸.x₄².w₁ + 3y₁.x₃⁹.x₄.w₁ - 3y₁.x₃¹⁰.w₂
• n.m = - 3x₃⁶.x₄⁵.w₁ - x₃⁷.x₄⁴.w₁ + 3x₃⁸.x₄³.w₁ - 2x₃⁹.x₄².w₁ + 3x₃¹⁰.x₄.w₁ - x₃¹¹.w₁ - 3y₁.x₃⁷.x₄⁵ - y₁.x₃⁸.x₄⁴ + 2y₁.x₃⁹.x₄³ + 3y₁.x₃¹⁰.x₄² + y₁.x₃¹¹.x₄ - 2y₁.x₃¹²
• m² = 0

Eine minimale Gröbnerbasis für das Relationenideal besteht aus diesen minimalen Relationen, zusammen mit folgenden überflüssigen Relationen:

• y₂.x₃.w₁ = y₁.x₃.w₂ - 2y₁.x₃.w₁
• y₂.w₁.w₂ = 0
• y₁.w₁.w₂ = 0
• x₃.w₁.w₂ = 3y₁.x₃².w₂ - 3y₁.x₃².w₁
• y₁.x₃.x₄⁶ = y₁.x₃⁷
• x₃.x₄⁷ = x₃⁷.x₄
• y₁.x₃.x₄⁵.w₁ = y₁.x₃⁶.w₂ - 2y₁.x₃⁶.w₁
• x₃.x₄⁶.w₁ = x₃⁷.w₁

Ideal essentieller Klassen: Es gibt 8 minimale Erzeuger:

• y₁.x₂
• y₂.w₁ - y₁.w₂ + 2y₁.w₁
• x₁.w₂
• w₁.w₂ - 3y₁.x₃.w₂ + 3y₁.x₃.w₁
• s
• r
• q
• p

Nilradikal: Es gibt 12 minimale Erzeuger:

• y₂
• y₁
• x₂
• x₁
• w₂
• w₁
• s
• r
• q
• p
• o
• m

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 28 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 26. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 26. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 1. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = l im Grad 14
• h₂ = x₄² + x₃² im Grad 4

Der erste Term h₁ bildet eine reguläre Folge maximaler Länge. Der letzte Term h₂ wird von der Klasse y₁.x₂ annulliert.

Der erste Term h₁ bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist frei vom Rang 8 als Modul über die Polynomalgebra auf h₁. Eine Basis dieses freien Moduls ist:

• G₁ = y₁.x₂ im Grad 3
• G₂ = y₂.w₁ - y₁.w₂ + 2y₁.w₁ im Grad 4
• G₃ = x₁.w₂ im Grad 5
• G₄ = w₁.w₂ - 3y₁.x₃.w₂ + 3y₁.x₃.w₁ im Grad 6
• G₅ = s im Grad 7
• G₆ = r im Grad 8
• G₇ = q im Grad 9
• G₈ = p im Grad 10

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 18 sind.

• 1 im Grad 0
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• x₄ im Grad 2
• x₃ im Grad 2
• x₂ im Grad 2
• x₁ im Grad 2
• w₂ im Grad 3
• w₁ im Grad 3
• y₂.x₃ im Grad 3
• y₁.x₄ im Grad 3
• y₁.x₃ im Grad 3
• y₁.x₂ im Grad 3
• x₃.x₄ im Grad 4
• x₃² im Grad 4
• y₂.w₂ im Grad 4
• y₂.w₁ im Grad 4
• y₁.w₂ im Grad 4
• y₁.w₁ im Grad 4
• x₄.w₁ im Grad 5
• x₃.w₂ im Grad 5
• x₃.w₁ im Grad 5
• y₁.x₃.x₄ im Grad 5
• y₁.x₃² im Grad 5
• x₁.w₂ im Grad 5
• x₃².x₄ im Grad 6
• x₃³ im Grad 6
• w₁.w₂ im Grad 6
• y₁.x₃.w₂ im Grad 6
• y₁.x₃.w₁ im Grad 6
• s im Grad 7
• x₃².w₂ im Grad 7
• x₃².w₁ im Grad 7
• y₁.x₃².x₄ im Grad 7
• y₁.x₃³ im Grad 7
• x₃³.x₄ im Grad 8
• x₃⁴ im Grad 8
• r im Grad 8
• y₁.x₃².w₂ im Grad 8
• y₁.x₃².w₁ im Grad 8
• q im Grad 9
• x₃³.w₂ im Grad 9
• x₃³.w₁ im Grad 9
• y₁.x₃³.x₄ im Grad 9
• y₁.x₃⁴ im Grad 9
• x₃⁴.x₄ im Grad 10
• x₃⁵ im Grad 10
• p im Grad 10
• y₁.x₃³.w₂ im Grad 10
• y₁.x₃³.w₁ im Grad 10
• o im Grad 11
• x₃⁴.w₂ im Grad 11
• x₃⁴.w₁ im Grad 11
• y₁.x₃⁴.x₄ im Grad 11
• y₁.x₃⁵ im Grad 11
• n im Grad 12
• x₃⁵.x₄ im Grad 12
• x₃⁶ im Grad 12
• y₁.x₃⁴.w₂ im Grad 12
• y₁.x₃⁴.w₁ im Grad 12
• m im Grad 13
• x₃⁵.w₂ im Grad 13
• x₃⁵.w₁ im Grad 13
• y₁.x₃⁵.x₄ im Grad 13
• y₁.x₃⁶ im Grad 13
• x₃⁶.x₄ im Grad 14
• x₃⁷ im Grad 14
• y₁.x₃⁵.w₂ im Grad 14
• y₁.x₃⁵.w₁ im Grad 14
• x₃⁶.w₂ im Grad 15
• x₃⁶.w₁ im Grad 15
• y₁.x₃⁶.w₁ im Grad 16

Eine Basis für Ann_R/(h1)(h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 14 sind.

• y₁.x₂ im Grad 3
• y₂.w₁ - y₁.w₂ + 2y₁.w₁ im Grad 4
• x₁.w₂ im Grad 5
• w₁.w₂ - 3y₁.x₃.w₂ + 3y₁.x₃.w₁ im Grad 6
• s im Grad 7
• r im Grad 8
• q im Grad 9
• p im Grad 10

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung x₁
• x₄ hat Einschränkung 0
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung y₂.x₁ - y₁.x₂
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung 2y₂.x₁⁵ - 2y₁.x₁⁴.x₂
• n hat Einschränkung 3y₁.y₂.x₁⁵
• m hat Einschränkung 0
• l hat Einschränkung x₂⁷ - x₁⁶.x₂ - 3y₁.y₂.x₁⁶

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung 0
• x₄ hat Einschränkung x₁
• w₁ hat Einschränkung y₂.x₁ - y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung 2y₂.x₁ - 2y₁.x₂
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung y₂.x₁⁵ - y₁.x₁⁴.x₂
• n hat Einschränkung - 3y₁.y₂.x₁⁵
• m hat Einschränkung 0
• l hat Einschränkung x₂⁷ - x₁⁶.x₂ - 3y₁.y₂.x₁⁶

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung - y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung 0
• x₃ hat Einschränkung x₁
• x₄ hat Einschränkung - x₁
• w₁ hat Einschränkung - y₂.x₁ + y₁.x₂ - 3y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung - y₂.x₁ + y₁.x₂ - 3y₁.x₁
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung - 2y₂.x₁⁵ + 2y₁.x₁⁴.x₂ - 2y₁.x₁⁵
• n hat Einschränkung 3y₁.y₂.x₁⁵
• m hat Einschränkung 3y₁.x₁⁶
• l hat Einschränkung x₂⁷ - x₁⁶.x₂ - x₁⁷

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung 2y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung 2y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung - 3y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung x₁
• x₄ hat Einschränkung 2x₁
• w₁ hat Einschränkung 2y₂.x₁ - 2y₁.x₂ - y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung - 2y₂.x₁ + 2y₁.x₂ - y₁.x₁
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung y₂.x₁⁵ - y₁.x₁⁴.x₂ + 3y₁.x₁⁵
• n hat Einschränkung - 2y₁.y₂.x₁⁵
• m hat Einschränkung y₂.x₁⁶ - y₁.x₁⁵.x₂ + 3y₁.x₁⁶
• l hat Einschränkung x₂⁷ - x₁⁶.x₂ + 3x₁⁷ - 3y₁.y₂.x₁⁶

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung 3y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung 3y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung 3y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung x₁
• x₄ hat Einschränkung 3x₁
• w₁ hat Einschränkung 3y₂.x₁ - 3y₁.x₂ + 2y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung 2y₁.x₁
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung y₂.x₁⁵ - y₁.x₁⁴.x₂ - y₁.x₁⁵
• n hat Einschränkung - 3x₁⁶ + 3y₁.y₂.x₁⁵
• m hat Einschränkung - 3y₂.x₁⁶ + 3y₁.x₁⁵.x₂ - 2y₁.x₁⁶
• l hat Einschränkung x₂⁷ - x₁⁶.x₂ - 3x₁⁷ - 3y₁.y₂.x₁⁶

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung - 2y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung x₁
• x₄ hat Einschränkung x₁
• w₁ hat Einschränkung y₂.x₁ - y₁.x₂ + 3y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung 3y₂.x₁ - 3y₁.x₂ + 3y₁.x₁
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung - y₁.x₁⁵
• n hat Einschränkung - x₁⁶ - y₁.y₂.x₁⁵
• m hat Einschränkung y₂.x₁⁶ - y₁.x₁⁵.x₂ + 3y₁.x₁⁶
• l hat Einschränkung x₂⁷ - x₁⁶.x₂ - x₁⁷ + 3y₁.y₂.x₁⁶

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung - 2y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung - 2y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung x₁
• x₄ hat Einschränkung - 2x₁
• w₁ hat Einschränkung - 2y₂.x₁ + 2y₁.x₂ + y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung - 3y₂.x₁ + 3y₁.x₂ + y₁.x₁
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung 2y₁.x₁⁵
• n hat Einschränkung 3x₁⁶
• m hat Einschränkung 3y₂.x₁⁶ - 3y₁.x₁⁵.x₂ + 3y₁.x₁⁶
• l hat Einschränkung x₂⁷ - x₁⁶.x₂ - 3x₁⁷ + 2y₁.y₂.x₁⁶

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 8, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung - 3y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung - 3y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung 2y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung x₁
• x₄ hat Einschränkung - 3x₁
• w₁ hat Einschränkung - 3y₂.x₁ + 3y₁.x₂ - 2y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung 2y₂.x₁ - 2y₁.x₂ - 2y₁.x₁
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung - 2y₂.x₁⁵ + 2y₁.x₁⁴.x₂ + 3y₁.x₁⁵
• n hat Einschränkung - 3y₁.y₂.x₁⁵
• m hat Einschränkung - 3y₂.x₁⁶ + 3y₁.x₁⁵.x₂ - 2y₁.x₁⁶
• l hat Einschränkung x₂⁷ - x₁⁶.x₂ + 2x₁⁷ + 2y₁.y₂.x₁⁶

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung x₂
• x₄ hat Einschränkung 0
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung - y₂.x₁ + y₁.x₂
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung - 2y₂.x₁.x₂⁴ + 2y₁.x₂⁵
• n hat Einschränkung - 3y₁.y₂.x₂⁵
• m hat Einschränkung 0
• l hat Einschränkung - x₁.x₂⁶ + x₁⁷ + 3y₁.y₂.x₂⁶

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung 0
• x₄ hat Einschränkung x₂ + x₁
• w₁ hat Einschränkung - y₂.x₁ + y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung - 2y₂.x₁ + 2y₁.x₂
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung - y₂.x₁.x₂⁴ + 3y₂.x₁².x₂³ + y₂.x₁³.x₂² + 3y₂.x₁⁴.x₂ - y₂.x₁⁵ + y₁.x₂⁵ - 3y₁.x₁.x₂⁴ - y₁.x₁².x₂³ - 3y₁.x₁³.x₂² + y₁.x₁⁴.x₂
• n hat Einschränkung 3y₁.y₂.x₂⁵ + y₁.y₂.x₁.x₂⁴ + 2y₁.y₂.x₁².x₂³ + 2y₁.y₂.x₁³.x₂² + y₁.y₂.x₁⁴.x₂ + 3y₁.y₂.x₁⁵
• m hat Einschränkung 0
• l hat Einschränkung - x₁.x₂⁶ + x₁².x₂⁵ - x₁³.x₂⁴ + x₁⁴.x₂³ - x₁⁵.x₂² + x₁⁶.x₂ + 3y₁.y₂.x₂⁶ - 3y₁.y₂.x₁.x₂⁵ + 3y₁.y₂.x₁².x₂⁴ - 3y₁.y₂.x₁³.x₂³ + 3y₁.y₂.x₁⁴.x₂² - 3y₁.y₂.x₁⁵.x₂ + 3y₁.y₂.x₁⁶

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 3, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung - y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• x₁ hat Einschränkung y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung 0
• x₃ hat Einschränkung x₂
• x₄ hat Einschränkung - x₂
• w₁ hat Einschränkung - 3y₂.x₂ + y₂.x₁ - y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung - 3y₂.x₂ + y₂.x₁ - y₁.x₂
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung - 2y₂.x₂⁵ + 2y₂.x₁.x₂⁴ - 2y₁.x₂⁵
• n hat Einschränkung - 3y₁.y₂.x₂⁵
• m hat Einschränkung 3y₂.x₂⁶
• l hat Einschränkung - x₂⁷ - x₁.x₂⁶ + x₁⁷

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 4, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• x₁ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung 2y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung x₂
• x₄ hat Einschränkung x₂
• w₁ hat Einschränkung 3y₂.x₂ - y₂.x₁ + y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung 3y₂.x₂ - 3y₂.x₁ + 3y₁.x₂
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung - y₂.x₂⁵
• n hat Einschränkung - x₂⁶ + y₁.y₂.x₂⁵
• m hat Einschränkung 3y₂.x₂⁶ - y₂.x₁.x₂⁵ + y₁.x₂⁶
• l hat Einschränkung - x₂⁷ - x₁.x₂⁶ + x₁⁷ - 3y₁.y₂.x₂⁶

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 5, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung 3y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• x₁ hat Einschränkung - 3y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung - 3y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung x₂
• x₄ hat Einschränkung 3x₂
• w₁ hat Einschränkung 2y₂.x₂ - 3y₂.x₁ + 3y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung 2y₂.x₂
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung - y₂.x₂⁵ - y₂.x₁.x₂⁴ + y₁.x₂⁵
• n hat Einschränkung - 3x₂⁶ - 3y₁.y₂.x₂⁵
• m hat Einschränkung - 2y₂.x₂⁶ + 3y₂.x₁.x₂⁵ - 3y₁.x₂⁶
• l hat Einschränkung - 3x₂⁷ - x₁.x₂⁶ + x₁⁷ + 3y₁.y₂.x₂⁶

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 6, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung 2y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• x₁ hat Einschränkung - 2y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung 3y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung x₂
• x₄ hat Einschränkung 2x₂
• w₁ hat Einschränkung - y₂.x₂ - 2y₂.x₁ + 2y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung - y₂.x₂ + 2y₂.x₁ - 2y₁.x₂
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung 3y₂.x₂⁵ - y₂.x₁.x₂⁴ + y₁.x₂⁵
• n hat Einschränkung 2y₁.y₂.x₂⁵
• m hat Einschränkung 3y₂.x₂⁶ - y₂.x₁.x₂⁵ + y₁.x₂⁶
• l hat Einschränkung 3x₂⁷ - x₁.x₂⁶ + x₁⁷ + 3y₁.y₂.x₂⁶

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 7, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung - 3y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• x₁ hat Einschränkung 3y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung - 2y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung x₂
• x₄ hat Einschränkung - 3x₂
• w₁ hat Einschränkung - 2y₂.x₂ + 3y₂.x₁ - 3y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung - 2y₂.x₂ - 2y₂.x₁ + 2y₁.x₂
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung 3y₂.x₂⁵ + 2y₂.x₁.x₂⁴ - 2y₁.x₂⁵
• n hat Einschränkung 3y₁.y₂.x₂⁵
• m hat Einschränkung - 2y₂.x₂⁶ + 3y₂.x₁.x₂⁵ - 3y₁.x₂⁶
• l hat Einschränkung 2x₂⁷ - x₁.x₂⁶ + x₁⁷ - 2y₁.y₂.x₂⁶

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 8, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung - 2y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• x₁ hat Einschränkung 2y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung x₂
• x₄ hat Einschränkung - 2x₂
• w₁ hat Einschränkung y₂.x₂ + 2y₂.x₁ - 2y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung y₂.x₂ + 3y₂.x₁ - 3y₁.x₂
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung 2y₂.x₂⁵
• n hat Einschränkung 3x₂⁶
• m hat Einschränkung 3y₂.x₂⁶ - 3y₂.x₁.x₂⁵ + 3y₁.x₂⁶
• l hat Einschränkung - 3x₂⁷ - x₁.x₂⁶ + x₁⁷ - 2y₁.y₂.x₂⁶

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C7

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung 0
• x₃ hat Einschränkung 0
• x₄ hat Einschränkung 0
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung 0
• s hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• p hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung 0
• n hat Einschränkung 0
• m hat Einschränkung 0
• l hat Einschränkung - x⁷

Poincaré-Reihe

(1 + 2t + 4t² + 6t³ + 6t⁴ + 6t⁵ + 5t⁶ + 4t⁷ + 4t⁸ + 4t⁹ + 4t¹⁰ + 4t¹¹ + 4t¹² + 4t¹³ + 3t¹⁴ + 2t¹⁵ + t¹⁶) / (1 - t⁴) (1 - t¹⁴)