Kleine Gruppe Nr. 3 der Ordnung 343

G = E343 ist die extraspezielle 7-Gruppe der Ordnung 343 und vom Exponenten 7

G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 7. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 8 maximalen Untergruppen sind: V49 (8mal).

Es gibt 8 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 2 (8mal).

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur | Informationen zur Vollständigkeit | Koszul-Informationen | Einschränkungen auf Untergruppen | Poincaré-Reihe


Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 16 Erzeuger:

Es gibt 104 minimale Relationen:

Eine minimale Gröbnerbasis für das Relationenideal besteht aus diesen minimalen Relationen, zusammen mit folgenden überflüssigen Relationen:

Ideal essentieller Klassen: Es gibt 8 minimale Erzeuger:

Nilradikal: Es gibt 12 minimale Erzeuger:


Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 28 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 26. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 26. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 1. Ein homogenes Parametersystem ist

Der erste Term h1 bildet eine reguläre Folge maximaler Länge. Der letzte Term h2 wird von der Klasse y1.x2 annulliert.

Der erste Term h1 bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist frei vom Rang 8 als Modul über die Polynomalgebra auf h1. Eine Basis dieses freien Moduls ist:

Jedes Produkt zweier essentieller Klassen ist Null.


Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h1, h2) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 18 sind.

Eine Basis für AnnR/(h1)(h2) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 14 sind.


Einschränkungen auf Untergruppen

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V49

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V49

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu V49

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu V49

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu V49

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu V49

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu V49

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 8, isomorph zu V49

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V49

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V49

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 3, isomorph zu V49

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 4, isomorph zu V49

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 5, isomorph zu V49

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 6, isomorph zu V49

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 7, isomorph zu V49

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 8, isomorph zu V49

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C7


Poincaré-Reihe

(1 + 2t + 4t2 + 6t3 + 6t4 + 6t5 + 5t6 + 4t7 + 4t8 + 4t9 + 4t10 + 4t11 + 4t12 + 4t13 + 3t14 + 2t15 + t16) / (1 - t4) (1 - t14)


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