Kleine Gruppe Nr. 4 der Ordnung 343

G = M343 ist die extraspezielle 7-Gruppe der Ordnung 343 und vom Exponenten 49

G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 49. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 8 maximalen Untergruppen sind: C49 (7mal), V49.

Es gibt eine Konjugationsklasse maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Jede hat Rang 2.

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 10 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• x im Grad 2
• w im Grad 3, ein nilpotentes Element
• u im Grad 5, ein nilpotentes Element
• s im Grad 7, ein nilpotentes Element
• q im Grad 9, ein nilpotentes Element
• o im Grad 11, ein nilpotentes Element
• m im Grad 13, ein nilpotentes Element
• l im Grad 14, ein reguläres Element

Es gibt 35 minimale Relationen:

• y₂² = 0
• y₁² = 0
• y₁.x = 0
• y₁.w = 0
• x.w = 0
• w² = 0
• y₁.u = 0
• x.u = 0
• w.u = 0
• y₁.s = 0
• x.s = 0
• u² = 0
• w.s = 0
• y₁.q = 0
• x.q = 0
• u.s = 0
• w.q = 0
• y₁.o = 0
• x.o = 0
• s² = 0
• u.q = 0
• w.o = 0
• y₁.m = 0
• s.q = 0
• u.o = 0
• w.m = 0
• q² = 0
• s.o = 0
• u.m = 0
• q.o = 0
• s.m = 0
• o² = 0
• q.m = 0
• o.m = 0
• m² = 0

Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis für das Relationenideal.

Ideal essentieller Klassen: Es gibt 6 minimale Erzeuger:

• y₁.y₂
• y₂.w
• y₂.u
• y₂.s
• y₂.q
• y₂.o

Nilradikal: Es gibt 8 minimale Erzeuger:

• y₂
• y₁
• w
• u
• s
• q
• o
• m

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 28 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 26. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 26. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 1. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = l im Grad 14
• h₂ = x im Grad 2

Der erste Term h₁ bildet eine reguläre Folge maximaler Länge. Der letzte Term h₂ wird von der Klasse y₁ annulliert.

Der erste Term h₁ bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist frei vom Rang 6 als Modul über die Polynomalgebra auf h₁. Eine Basis dieses freien Moduls ist:

• G₁ = y₁.y₂ im Grad 2
• G₂ = y₂.w im Grad 4
• G₃ = y₂.u im Grad 6
• G₄ = y₂.s im Grad 8
• G₅ = y₂.q im Grad 10
• G₆ = y₂.o im Grad 12

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 16 sind.

• 1 im Grad 0
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• y₁.y₂ im Grad 2
• w im Grad 3
• y₂.w im Grad 4
• u im Grad 5
• y₂.u im Grad 6
• s im Grad 7
• y₂.s im Grad 8
• q im Grad 9
• y₂.q im Grad 10
• o im Grad 11
• y₂.o im Grad 12
• m im Grad 13
• y₂.m im Grad 14

Eine Basis für Ann_R/(h1)(h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 14 sind.

• y₁ im Grad 1
• y₁.y₂ im Grad 2
• w im Grad 3
• y₂.w im Grad 4
• u im Grad 5
• y₂.u im Grad 6
• s im Grad 7
• y₂.s im Grad 8
• q im Grad 9
• y₂.q im Grad 10
• o im Grad 11
• y₂.o im Grad 12

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x hat Einschränkung x₁
• w hat Einschränkung 0
• u hat Einschränkung 0
• s hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung 0
• m hat Einschränkung y₂.x₁⁶ - y₁.x₁⁵.x₂
• l hat Einschränkung - x₂⁷ + x₁⁶.x₂ + 2y₁.y₂.x₁⁶

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu C49

• y₁ hat Einschränkung y
• y₂ hat Einschränkung 0
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung y.x
• u hat Einschränkung - 3y.x²
• s hat Einschränkung - y.x³
• q hat Einschränkung - 2y.x⁴
• o hat Einschränkung y.x⁵
• m hat Einschränkung - y.x⁶
• l hat Einschränkung - x⁷

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu C49

• y₁ hat Einschränkung - y
• y₂ hat Einschränkung y
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung y.x
• u hat Einschränkung 3y.x²
• s hat Einschränkung - y.x³
• q hat Einschränkung 2y.x⁴
• o hat Einschränkung y.x⁵
• m hat Einschränkung y.x⁶
• l hat Einschränkung x⁷

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu C49

• y₁ hat Einschränkung 2y
• y₂ hat Einschränkung y
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung - 3y.x
• u hat Einschränkung - 3y.x²
• s hat Einschränkung - 2y.x³
• q hat Einschränkung - y.x⁴
• o hat Einschränkung y.x⁵
• m hat Einschränkung - 2y.x⁶
• l hat Einschränkung - 2x⁷

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu C49

• y₁ hat Einschränkung 3y
• y₂ hat Einschränkung y
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung 2y.x
• u hat Einschränkung 3y.x²
• s hat Einschränkung 3y.x³
• q hat Einschränkung - 3y.x⁴
• o hat Einschränkung y.x⁵
• m hat Einschränkung - 3y.x⁶
• l hat Einschränkung - 3x⁷

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu C49

• y₁ hat Einschränkung y
• y₂ hat Einschränkung y
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung y.x
• u hat Einschränkung - 3y.x²
• s hat Einschränkung - y.x³
• q hat Einschränkung - 2y.x⁴
• o hat Einschränkung y.x⁵
• m hat Einschränkung - y.x⁶
• l hat Einschränkung - x⁷

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu C49

• y₁ hat Einschränkung - 2y
• y₂ hat Einschränkung y
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung - 3y.x
• u hat Einschränkung 3y.x²
• s hat Einschränkung - 2y.x³
• q hat Einschränkung y.x⁴
• o hat Einschränkung y.x⁵
• m hat Einschränkung 2y.x⁶
• l hat Einschränkung 2x⁷

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 8, isomorph zu C49

• y₁ hat Einschränkung - 3y
• y₂ hat Einschränkung y
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung 2y.x
• u hat Einschränkung - 3y.x²
• s hat Einschränkung 3y.x³
• q hat Einschränkung 3y.x⁴
• o hat Einschränkung y.x⁵
• m hat Einschränkung 3y.x⁶
• l hat Einschränkung 3x⁷

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V49

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• x hat Einschränkung x₂
• w hat Einschränkung 0
• u hat Einschränkung 0
• s hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung 0
• m hat Einschränkung - y₂.x₁.x₂⁵ + y₁.x₂⁶
• l hat Einschränkung x₁.x₂⁶ - x₁⁷ - 2y₁.y₂.x₂⁶

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C7

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• x hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung 0
• u hat Einschränkung 0
• s hat Einschränkung 0
• q hat Einschränkung 0
• o hat Einschränkung 0
• m hat Einschränkung 0
• l hat Einschränkung - x⁷

Poincaré-Reihe

(1 + 2t + t²) / (1 - t²) (1 - t¹⁴)