Kleine Gruppe Nr. 4 der Ordnung 625

G ist die Gruppe 625gp4

G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 25. Das Zentrum hat Rang 2.

Die 6 maximalen Untergruppen sind: Ab(25,5) (6mal).

Es gibt eine Konjugationsklasse maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Jede hat Rang 2.

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 4 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• x₁ im Grad 2, ein reguläres Element
• x₂ im Grad 2, ein reguläres Element

Es gibt 2 minimale Relationen:

• y₂² = 0
• y₁² = 0

Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis für das Relationenideal.

Ideal essentieller Klassen: Es gibt einen minimalen Erzeuger:

• y₁.y₂

Nilradikal: Es gibt 2 minimale Erzeuger:

• y₂
• y₁

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 4 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 2. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 4. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 2. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = x₁ im Grad 2
• h₂ = x₂ im Grad 2

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, ihre Einschränkungen auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist frei vom Rang 1 als Modul über die Polynomalgebra auf h₁, h₂. Eine Basis dieses freien Moduls ist:

• G₁ = y₁.y₂ im Grad 2

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 4 sind.

• 1 im Grad 0
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• y₁.y₂ im Grad 2

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 125gp2

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung x₁
• x₂ hat Einschränkung x₂ - y₁.y₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 125gp2

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung x₂
• x₂ hat Einschränkung x₁ + y₁.y₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 125gp2

• y₁ hat Einschränkung - y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung - x₂
• x₂ hat Einschränkung x₂ + x₁ - y₁.y₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 125gp2

• y₁ hat Einschränkung 2y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung 2x₂
• x₂ hat Einschränkung x₂ + x₁ + 2y₁.y₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu 125gp2

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung x₂
• x₂ hat Einschränkung x₂ + x₁ + y₁.y₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu 125gp2

• y₁ hat Einschränkung - 2y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung - 2x₂
• x₂ hat Einschränkung x₂ + x₁ - 2y₁.y₂

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V25

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung x₂ + x₁
• x₂ hat Einschränkung - x₂

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu V25

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung - x₁
• x₂ hat Einschränkung x₂

Poincaré-Reihe

(1 + 2t + t²) / (1 - t²)²