Kleine Gruppe Nr. 239 der Ordnung 64

G = Q8xQ8 ist das Produkt Q₈ x Q₈

Nach Hall-Senior hat diese Gruppe die Nummer 156.

G hat 4 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 4. Das Zentrum hat Rang 2.

Die 15 maximalen Untergruppen sind: 32gp26 (6mal), 32gp35 (9mal).

Es gibt eine Konjugationsklasse maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Jede hat Rang 2.

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 6 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₃ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₄ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• v₁ im Grad 4, ein reguläres Element
• v₂ im Grad 4, ein reguläres Element

Es gibt 4 minimale Relationen:

• y₄² = y₂.y₄ + y₂² + y₁.y₂ + y₁²
• y₃² = y₁.y₃ + y₁²
• y₂³ = 0
• y₁³ = 0

Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis für das Relationenideal.

Ideal essentieller Klassen: Es gibt 4 minimale Erzeuger:

• y₁.y₂².y₃.y₄
• y₁².y₂.y₃.y₄
• y₁².y₂².y₄
• y₁².y₂².y₃

Nilradikal: Es gibt 4 minimale Erzeuger:

• y₄
• y₃
• y₂
• y₁

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 8 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 4. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 8. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 2. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = v₁ im Grad 4
• h₂ = v₂ im Grad 4

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, ihre Einschränkungen auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist frei vom Rang 5 als Modul über die Polynomalgebra auf h₁, h₂. Eine Basis dieses freien Moduls ist:

• G₁ = y₁.y₂².y₃.y₄ im Grad 5
• G₂ = y₁².y₂.y₃.y₄ im Grad 5
• G₃ = y₁².y₂².y₄ im Grad 5
• G₄ = y₁².y₂².y₃ im Grad 5
• G₅ = y₁².y₂².y₃.y₄ im Grad 6

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 8 sind.

• 1 im Grad 0
• y₄ im Grad 1
• y₃ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• y₃.y₄ im Grad 2
• y₂.y₄ im Grad 2
• y₂.y₃ im Grad 2
• y₂² im Grad 2
• y₁.y₄ im Grad 2
• y₁.y₃ im Grad 2
• y₁.y₂ im Grad 2
• y₁² im Grad 2
• y₂.y₃.y₄ im Grad 3
• y₂².y₄ im Grad 3
• y₂².y₃ im Grad 3
• y₁.y₃.y₄ im Grad 3
• y₁.y₂.y₄ im Grad 3
• y₁.y₂.y₃ im Grad 3
• y₁.y₂² im Grad 3
• y₁².y₄ im Grad 3
• y₁².y₃ im Grad 3
• y₁².y₂ im Grad 3
• y₂².y₃.y₄ im Grad 4
• y₁.y₂.y₃.y₄ im Grad 4
• y₁.y₂².y₄ im Grad 4
• y₁.y₂².y₃ im Grad 4
• y₁².y₃.y₄ im Grad 4
• y₁².y₂.y₄ im Grad 4
• y₁².y₂.y₃ im Grad 4
• y₁².y₂² im Grad 4
• y₁.y₂².y₃.y₄ im Grad 5
• y₁².y₂.y₃.y₄ im Grad 5
• y₁².y₂².y₄ im Grad 5
• y₁².y₂².y₃ im Grad 5
• y₁².y₂².y₃.y₄ im Grad 6

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 32gp26

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₄ hat Einschränkung y₁
• v₁ hat Einschränkung x²
• v₂ hat Einschränkung v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 32gp26

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₂
• v₁ hat Einschränkung v
• v₂ hat Einschränkung x²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 32gp35

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₃ + y₂
• y₄ hat Einschränkung y₂
• v₁ hat Einschränkung v + x² + y₁².x
• v₂ hat Einschränkung v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 32gp26

• y₁ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung 0
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₂
• v₁ hat Einschränkung x²
• v₂ hat Einschränkung v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu 32gp26

• y₁ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₂ + y₁
• v₁ hat Einschränkung x²
• v₂ hat Einschränkung v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu 32gp35

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃
• v₁ hat Einschränkung v
• v₂ hat Einschränkung v + x² + y₁².x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu 32gp35

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₃
• v₁ hat Einschränkung v
• v₂ hat Einschränkung v + x² + y₁².x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 8, isomorph zu 32gp35

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₃ + y₂ + y₁
• y₄ hat Einschränkung 0
• v₁ hat Einschränkung v + x² + y₁².x
• v₂ hat Einschränkung v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 9, isomorph zu 32gp26

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₁
• y₄ hat Einschränkung y₂
• v₁ hat Einschränkung v
• v₂ hat Einschränkung x²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 10, isomorph zu 32gp35

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₃ + y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₂ + y₁
• v₁ hat Einschränkung v
• v₂ hat Einschränkung v + x² + y₁².x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 11, isomorph zu 32gp26

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₃
• v₁ hat Einschränkung v
• v₂ hat Einschränkung x²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 12, isomorph zu 32gp35

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₃ + y₂
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₄ hat Einschränkung y₂ + y₁
• v₁ hat Einschränkung v
• v₂ hat Einschränkung v + x² + y₁².x + y₁².y₂.y₃

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 13, isomorph zu 32gp35

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₃ + y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₁
• y₄ hat Einschränkung y₂
• v₁ hat Einschränkung v
• v₂ hat Einschränkung v + x² + y₁².x + y₁².y₂.y₃

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 14, isomorph zu 32gp35

• y₁ hat Einschränkung y₃ + y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₃ + y₂
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₁
• v₁ hat Einschränkung v + x² + y₁².x
• v₂ hat Einschränkung v + y₁².y₂.y₃

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 15, isomorph zu 32gp35

• y₁ hat Einschränkung y₃ + y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃
• v₁ hat Einschränkung v + x² + y₁².x
• v₂ hat Einschränkung v + y₁².y₂.y₃

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung 0
• y₄ hat Einschränkung 0
• v₁ hat Einschränkung y₂⁴
• v₂ hat Einschränkung y₁⁴

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung 0
• y₄ hat Einschränkung 0
• v₁ hat Einschränkung y₂⁴
• v₂ hat Einschränkung y₁⁴

Poincaré-Reihe

(1 + 4t + 8t² + 10t³ + 8t⁴ + 4t⁵ + t⁶) / (1 - t⁴)²