Kleine Gruppe Nr. 3 der Ordnung 81

G ist die Gruppe 81gp3

G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 3 und Exponenten 9. Das Zentrum hat Rang 2.

Die 4 maximalen Untergruppen sind: Ab(9,3) (3mal), V27.

Es gibt eine Konjugationsklasse maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Jede hat Rang 3.

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 12 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• x₁ im Grad 2, ein nilpotentes Element
• x₂ im Grad 2, ein nilpotentes Element
• x₃ im Grad 2
• x₄ im Grad 2, ein reguläres Element
• w₁ im Grad 3, ein nilpotentes Element
• w₂ im Grad 3, ein nilpotentes Element
• v im Grad 4, ein nilpotentes Element
• u im Grad 5, ein nilpotentes Element
• t₁ im Grad 6, ein nilpotentes Element
• t₂ im Grad 6, ein reguläres Element

Es gibt 44 minimale Relationen:

• y₂² = 0
• y₁.y₂ = 0
• y₁² = 0
• y₁.x₃ = 0
• y₂.x₂ = - y₁.x₂
• y₂.x₁ = y₁.x₂
• y₁.x₁ = 0
• x₂.x₃ = y₂.w₂ - y₁.w₂
• x₁.x₃ = y₁.w₂
• x₂² = y₁.w₂
• x₁.x₂ = 0
• x₁² = 0
• y₂.w₁ = y₁.w₂
• y₁.w₁ = 0
• x₃.w₁ = 0
• x₂.w₂ = - y₂.v
• x₂.w₁ = y₂.v
• x₁.w₂ = y₂.v
• x₁.w₁ = 0
• y₁.v = 0
• x₃.v = y₂.u + y₂.x₃.w₂ - y₁.x₄.w₂
• w₂² = 0
• w₁.w₂ = 0
• w₁² = 0
• x₂.v = 0
• x₁.v = 0
• y₁.u = 0
• w₂.v = - y₂.t₁ + y₂.x₄.v
• w₁.v = 0
• x₂.u = y₂.t₁
• x₁.u = 0
• y₁.t₁ = 0
• x₃.t₁ = w₂.u + y₂.x₃².w₂ + y₂.x₄.u + y₂.x₃.x₄.w₂ - y₁.x₄².w₂
• v² = 0
• w₁.u = 0
• x₂.t₁ = 0
• x₁.t₁ = 0
• v.u = y₂.w₂.u
• w₂.t₁ = - y₂.x₄.t₁ + y₁.x₂.t₂ + y₂.x₄².v
• w₁.t₁ = 0
• u² = 0
• v.t₁ = 0
• u.t₁ = y₂.x₃.w₂.u + y₂.x₄.w₂.u
• t₁² = 0

Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis für das Relationenideal.

Ideal essentieller Klassen: Es gibt 3 minimale Erzeuger:

• y₁.x₂
• y₁.w₂
• y₂.v

Nilradikal: Es gibt 9 minimale Erzeuger:

• y₂
• y₁
• x₂
• x₁
• w₂
• w₁
• v
• u
• t₁

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 12 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 12. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 12. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 3 und Tiefe 2. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = x₄ im Grad 2
• h₂ = t₂ im Grad 6
• h₃ = x₃ im Grad 2

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine reguläre Folge maximaler Länge. Der letzte Term h₃ wird von der Klasse y₁ annulliert.

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, ihre Einschränkungen auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist frei vom Rang 3 als Modul über die Polynomalgebra auf h₁, h₂. Eine Basis dieses freien Moduls ist:

• G₁ = y₁.x₂ im Grad 3
• G₂ = y₁.w₂ im Grad 4
• G₃ = y₂.v im Grad 5

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂, h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 10 sind.

• 1 im Grad 0
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• x₂ im Grad 2
• x₁ im Grad 2
• w₂ im Grad 3
• w₁ im Grad 3
• y₁.x₂ im Grad 3
• v im Grad 4
• u im Grad 5
• y₂.v im Grad 5
• t₁ im Grad 6
• y₂.t₁ im Grad 7

Eine Basis für Ann_{R/(h1, h2)}(h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 8 sind.

• y₁ im Grad 1
• w₁ im Grad 3
• y₁.x₂ im Grad 3
• y₁.w₂ im Grad 4
• y₂.v im Grad 5

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V27

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung x₁
• x₄ hat Einschränkung x₃
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung y₂.x₁ - y₁.x₂
• v hat Einschränkung y₁.y₃.x₁ - y₁.y₂.x₁
• u hat Einschränkung y₃.x₁² + y₂.x₁² - y₁.x₁.x₂
• t₁ hat Einschränkung y₂.y₃.x₁² + y₁.y₃.x₁.x₃ - y₁.y₃.x₁.x₂ - y₁.y₂.x₁.x₃ + y₁.y₂.x₁²
• t₂ hat Einschränkung x₂³ - x₁.x₃² + x₁².x₃ - x₁².x₂ + y₁.y₃.x₁.x₃ + y₁.y₂.x₁²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 27gp2

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung 0
• x₄ hat Einschränkung x₂
• w₁ hat Einschränkung - y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung y₁.y₂.x₁
• u hat Einschränkung - y₁.x₁.x₂ - y₁.x₁²
• t₁ hat Einschränkung y₁.y₂.x₁.x₂ + y₁.y₂.x₁²
• t₂ hat Einschränkung x₁³ - y₁.y₂.x₂² + y₁.y₂.x₁.x₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 27gp2

• y₁ hat Einschränkung - y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung 0
• x₃ hat Einschränkung 0
• x₄ hat Einschränkung - x₂
• w₁ hat Einschränkung y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung - y₁.x₁
• v hat Einschränkung - y₁.y₂.x₁
• u hat Einschränkung - y₁.x₁.x₂ + y₁.x₁²
• t₁ hat Einschränkung y₁.y₂.x₁.x₂ - y₁.y₂.x₁²
• t₂ hat Einschränkung x₁³ + y₁.y₂.x₂² + y₁.y₂.x₁.x₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 27gp2

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung 0
• x₄ hat Einschränkung x₂
• w₁ hat Einschränkung - y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung - y₁.x₁
• v hat Einschränkung y₁.y₂.x₁
• u hat Einschränkung - y₁.x₁.x₂ - y₁.x₁²
• t₁ hat Einschränkung y₁.y₂.x₁.x₂ + y₁.y₂.x₁²
• t₂ hat Einschränkung x₁³ - y₁.y₂.x₂² + y₁.y₂.x₁.x₂

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V27

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung y₂.y₃
• x₃ hat Einschränkung x₂
• x₄ hat Einschränkung x₃ + x₁
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung y₃.x₂ - y₂.x₃
• v hat Einschränkung - y₁.y₂.x₂
• u hat Einschränkung - y₃.x₂² - y₂.x₂.x₃ + y₁.x₂²
• t₁ hat Einschränkung - y₂.y₃.x₂.x₃ + y₂.y₃.x₂² - y₁.y₃.x₂² - y₁.y₂.x₁.x₂
• t₂ hat Einschränkung x₃³ - x₂.x₃² + x₁.x₂.x₃ + x₁.x₂² - x₁².x₂ + y₂.y₃.x₂.x₃ + y₂.y₃.x₂² + y₂.y₃.x₁.x₂ - y₁.y₂.x₂.x₃ - y₁.y₂.x₁.x₂

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu V9

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung 0
• x₃ hat Einschränkung 0
• x₄ hat Einschränkung - x₁
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung 0
• u hat Einschränkung 0
• t₁ hat Einschränkung 0
• t₂ hat Einschränkung x₂³

Poincaré-Reihe

(1 + 2t + 2t² + 2t³ + t⁴) / (1 - t²)² (1 - t⁶)