Kleine Gruppe Nr. 11 der Ordnung 16

G = D8xC2 ist das Produkt D₈ x C₂

Nach Hall-Senior hat diese Gruppe die Nummer 6.

G hat 3 minimale Erzeugende, Rang 3 und Exponenten 4. Das Zentrum hat Rang 2.

Die 7 maximalen Untergruppen sind: Ab(4,2), D8 (4mal), V8 (2mal).

Es gibt 2 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 3 (2mal).

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 4 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₃ im Grad 1, ein reguläres Element
• x im Grad 2, ein reguläres Element

Es gibt eine minimale Relation:

• y₁.y₂ = 0

Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis für das Relationenideal.

Ideal essentieller Klassen: Nullideal

Nilradikal: Nullideal

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 6 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 2. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 6. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 3 und Tiefe 3. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = y₃ im Grad 1
• h₂ = x im Grad 2
• h₃ = y₂² + y₁² im Grad 2

Die ersten 3 Terme h₁, h₂, h₃ bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, ihre Einschränkungen auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist das Nullideal.

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂, h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 5 sind.

• 1 im Grad 0
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• y₁² im Grad 2

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x hat Einschränkung y₃² + y₂.y₃

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x hat Einschränkung y₃² + y₂.y₃

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 8gp2

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• x hat Einschränkung x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 8gp3

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung 0
• x hat Einschränkung x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu 8gp3

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x hat Einschränkung x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu 8gp3

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x hat Einschränkung x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu 8gp3

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• x hat Einschränkung x

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₃
• x hat Einschränkung y₁.y₂

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung y₃
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₂
• x hat Einschränkung y₁.y₃ + y₁²

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x hat Einschränkung y₂²

Poincaré-Reihe

(1 + 2t + t²) / (1 - t) (1 - t²)²