Kleine Gruppe Nr. 12 der Ordnung 16

G = Q8xC2 ist das Produkt Q₈ x C₂

Nach Hall-Senior hat diese Gruppe die Nummer 7.

G hat 3 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 4. Das Zentrum hat Rang 2.

Die 7 maximalen Untergruppen sind: Ab(4,2) (3mal), Q8 (4mal).

Es gibt eine Konjugationsklasse maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Jede hat Rang 2.

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 4 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₃ im Grad 1, ein reguläres Element
• v im Grad 4, ein reguläres Element

Es gibt 2 minimale Relationen:

• y₂² = y₁.y₂ + y₁²
• y₁³ = 0

Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis für das Relationenideal.

Ideal essentieller Klassen: Es gibt 3 minimale Erzeuger:

• y₁.y₂.y₃²
• y₁².y₃²
• y₁².y₂.y₃

Nilradikal: Es gibt 2 minimale Erzeuger:

• y₂
• y₁

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 6 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 4. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 6. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 2. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = y₃ im Grad 1
• h₂ = v im Grad 4

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, ihre Einschränkungen auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist frei vom Rang 3 als Modul über die Polynomalgebra auf h₁, h₂. Eine Basis dieses freien Moduls ist:

• G₁ = y₁.y₂.y₃² im Grad 4
• G₂ = y₁².y₃² im Grad 4
• G₃ = y₁².y₂.y₃ im Grad 4

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 5 sind.

• 1 im Grad 0
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• y₁.y₂ im Grad 2
• y₁² im Grad 2
• y₁².y₂ im Grad 3

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 8gp2

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung x²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 8gp2

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung x²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 8gp2

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung x²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 8gp4

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu 8gp4

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu 8gp4

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu 8gp4

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung v

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung y₁⁴

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₁
• v hat Einschränkung y₂⁴

Poincaré-Reihe

(1 + 2t + 2t² + t³) / (1 - t) (1 - t⁴)