Kleine Gruppe Nr. 2 der Ordnung 32
G ist die Gruppe 32gp2
Nach Hall-Senior hat diese Gruppe die Nummer 18.
G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 3 und Exponenten 4.
Das Zentrum hat Rang 3.
Die 3 maximalen Untergruppen sind:
Ab(4,2,2) (3mal).
Es gibt eine Konjugationsklasse maximaler elementar-abelscher
Untergruppen. Jede hat Rang 3.
Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.
Ringstruktur
| Informationen zur Vollständigkeit
| Koszul-Informationen
| Einschränkungen auf Untergruppen
| Poincaré-Reihe
Der Kohomologiering hat 7 Erzeuger:
- y1 im Grad 1, ein nilpotentes Element
- y2 im Grad 1, ein nilpotentes Element
- x1 im Grad 2, ein nilpotentes Element
- x2 im Grad 2, ein nilpotentes Element
- x3 im Grad 2, ein reguläres Element
- x4 im Grad 2, ein reguläres Element
- x5 im Grad 2, ein reguläres Element
Es gibt 9 minimale Relationen:
- y22 =
0
- y1.y2 =
0
- y12 =
0
- y2.x2 =
0
- y2.x1 =
y1.x2
- y1.x1 =
0
- x22 =
0
- x1.x2 =
0
- x12 =
0
Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis
für das Relationenideal.
Ideal essentieller Klassen:
Es gibt einen minimalen Erzeuger:
Nilradikal:
Es gibt 4 minimale Erzeuger:
Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis
zum Grad 12 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings
ist ab dem 4. Grad stabil.
Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 6. Grad
fest.
Dieser Kohomologiering hat Dimension 3 und Tiefe 3.
Ein homogenes Parametersystem ist
- h1 =
x3
im Grad 2
- h2 =
x4
im Grad 2
- h3 =
x5
im Grad 2
Die ersten 3 Terme h1, h2, h3 bilden
eine reguläre Folge maximaler Länge.
Die ersten 3 Terme h1, h2, h3 bilden
eine vollständige Duflot-reguläre Folge.
Daß heißt, ihre Einschränkungen auf die größte
zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bilden eine
reguläre Folge maximaler Länge.
Das Ideal essentieller Klassen ist
frei vom Rang 1 als Modul über die Polynomalgebra
auf h1, h2, h3.
Eine Basis dieses freien Moduls ist:
Jedes Produkt zweier essentieller Klassen ist Null.
Eine Basis für R/(h1, h2, h3) ist wie folgt.
Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente
vom Grad kleiner als 6 sind.
-
1
im Grad 0
-
y2
im Grad 1
-
y1
im Grad 1
-
x2
im Grad 2
-
x1
im Grad 2
-
y1.x2
im Grad 3
Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 16gp10
- y1 hat Einschränkung
0
- y2 hat Einschränkung
y1
- x1 hat Einschränkung
y1.y3
- x2 hat Einschränkung
y1.y2
- x3 hat Einschränkung
y32
- x4 hat Einschränkung
y22
+ y1.y2
- x5 hat Einschränkung
x
Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 16gp10
- y1 hat Einschränkung
y1
- y2 hat Einschränkung
0
- x1 hat Einschränkung
y1.y3
- x2 hat Einschränkung
y1.y2
- x3 hat Einschränkung
x
- x4 hat Einschränkung
y32
+ y1.y3
- x5 hat Einschränkung
y22
Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 16gp10
- y1 hat Einschränkung
y1
- y2 hat Einschränkung
y1
- x1 hat Einschränkung
y1.y3
- x2 hat Einschränkung
y1.y3
+ y1.y2
- x3 hat Einschränkung
x
- x4 hat Einschränkung
x
+ y32
- x5 hat Einschränkung
x
+ y22
Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V8
- y1 hat Einschränkung
0
- y2 hat Einschränkung
0
- x1 hat Einschränkung
0
- x2 hat Einschränkung
0
- x3 hat Einschränkung
y32
+ y12
- x4 hat Einschränkung
y32
- x5 hat Einschränkung
y22
Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu V8
- y1 hat Einschränkung
0
- y2 hat Einschränkung
0
- x1 hat Einschränkung
0
- x2 hat Einschränkung
0
- x3 hat Einschränkung
y32
- x4 hat Einschränkung
y22
- x5 hat Einschränkung
y22
+ y12
(1 + 2t + 2t2
+ t3) /
(1 - t2)3
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