Kleine Gruppe Nr. 7 der Ordnung 32

G ist die Gruppe 32gp7

Nach Hall-Senior hat diese Gruppe die Nummer 47.

G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 3 und Exponenten 8. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 3 maximalen Untergruppen sind: D8xC2, 16gp6 (2mal).

Es gibt 2 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 3 (2mal).

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 8 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1
• x₁ im Grad 2
• x₂ im Grad 2
• w₁ im Grad 3
• w₂ im Grad 3
• v₁ im Grad 4
• v₂ im Grad 4, ein reguläres Element

Es gibt 18 minimale Relationen:

• y₁.y₂ = 0
• y₁² = 0
• y₁.x₂ = 0
• y₁.x₁ = 0
• x₂² = y₂².x₂
• x₁.x₂ = y₂.w₂
• y₁.w₂ = 0
• y₁.w₁ = 0
• x₂.w₂ = y₂².w₂
• x₂.w₁ = y₂.v₁ + y₂.x₁²
• y₁.v₁ = 0
• w₂² = y₂.x₁.w₂
• w₁.w₂ = x₁.v₁ + x₁³
• w₁² = x₁³ + y₂.x₁.w₁ + y₂².v₁ + y₂².x₁² + y₂².v₂
• x₂.v₁ = y₂.x₁.w₂ + y₂².v₁ + y₂².x₁²
• w₂.v₁ = x₁².w₂ + y₂.x₁.v₁ + y₂.x₁³
• w₁.v₁ = x₁².w₂ + x₁².w₁ + y₂.x₁.v₁ + y₂.x₁³ + y₂³.v₁ + y₂³.x₁² + y₂.x₂.v₂
• v₁² = x₁⁴ + y₂.x₁².w₂ + y₂².x₁.v₁ + y₂².x₁³ + y₂⁴.v₁ + y₂⁴.x₁² + y₂².x₂.v₂

Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis für das Relationenideal.

Ideal essentieller Klassen: Nullideal

Nilradikal: Es gibt einen minimalen Erzeuger:

• y₁

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 12 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 8. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 8. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 3 und Tiefe 1. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = v₂ im Grad 4
• h₂ = y₂² im Grad 2
• h₃ = x₁ im Grad 2

Der erste Term h₁ bildet eine reguläre Folge maximaler Länge. Die restlichen 2 Terme h₂, h₃ werden alle von der Klasse y₁ annulliert.

Der erste Term h₁ bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist das Nullideal.

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂, h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 8 sind.

• 1 im Grad 0
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• x₂ im Grad 2
• w₂ im Grad 3
• w₁ im Grad 3
• y₂.x₂ im Grad 3
• v₁ im Grad 4
• y₂.w₁ im Grad 4
• y₂.v₁ im Grad 5

Eine Basis für Ann_{R/(h1, h2)}(h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 6 sind.

• y₁ im Grad 1
• y₂.x₂ im Grad 3

Eine Basis für Ann_R/(h1)(h₂, h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 4 sind.

• y₁ im Grad 1

Eine Basis für Ann_R/(h1)(h₂) / h₃ Ann_R/(h1)(h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 6 sind.

• y₁ im Grad 1

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• x₁ hat Einschränkung y₂.y₃ + y₁.y₃ + y₃²
• x₂ hat Einschränkung y₁²
• w₁ hat Einschränkung y₁³ + y₂.x + y₁.x + y₂.y₃² + y₁.y₃² + y₃³
• w₂ hat Einschränkung y₁².y₃ + y₁.y₃²
• v₁ hat Einschränkung y₁⁴ + y₁².x + y₂².y₃² + y₁.y₃³ + y₃⁴
• v₂ hat Einschränkung y₁².x + y₁³.y₃ + x² + y₂.y₃.x + y₁.y₃.x + y₃².x + y₁.y₃³

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 16gp6

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung y₂² + y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung y₁.y₂
• w₁ hat Einschränkung y₂³
• w₂ hat Einschränkung w
• v₁ hat Einschränkung y₂⁴ + y₂.w
• v₂ hat Einschränkung v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 16gp6

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung y₂² + y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung y₁.y₂
• w₁ hat Einschränkung y₂³ + w
• w₂ hat Einschränkung w
• v₁ hat Einschränkung y₂⁴ + y₂.w
• v₂ hat Einschränkung v

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• x₁ hat Einschränkung y₃² + y₂.y₃
• x₂ hat Einschränkung 0
• w₁ hat Einschränkung y₃³ + y₂.y₃² + y₁.y₂² + y₁².y₂
• w₂ hat Einschränkung 0
• v₁ hat Einschränkung y₃⁴ + y₂².y₃²
• v₂ hat Einschränkung y₁.y₂.y₃² + y₁.y₂².y₃ + y₁².y₃² + y₁².y₂.y₃ + y₁².y₂² + y₁⁴

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• x₁ hat Einschränkung y₃² + y₂.y₃
• x₂ hat Einschränkung y₂²
• w₁ hat Einschränkung y₃³ + y₂.y₃² + y₂³ + y₁.y₂² + y₁².y₂
• w₂ hat Einschränkung y₂.y₃² + y₂².y₃
• v₁ hat Einschränkung y₃⁴ + y₂.y₃³ + y₂⁴ + y₁.y₂³ + y₁².y₂²
• v₂ hat Einschränkung y₂.y₃³ + y₂³.y₃ + y₁.y₂.y₃² + y₁.y₂².y₃ + y₁.y₂³ + y₁².y₃² + y₁².y₂.y₃ + y₁⁴

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C2

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung 0
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung 0
• v₁ hat Einschränkung 0
• v₂ hat Einschränkung y⁴

Poincaré-Reihe

(1 + 2t + t² + t³ + 2t⁴ + t⁵) / (1 - t²)² (1 - t⁴)