Kleine Gruppe Nr. 8 der Ordnung 32

G ist die Gruppe 32gp8

Nach Hall-Senior hat diese Gruppe die Nummer 48.

G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 8. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 3 maximalen Untergruppen sind: Q8xC2, 16gp6 (2mal).

Es gibt eine Konjugationsklasse maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Jede hat Rang 2.

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 9 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• x₁ im Grad 2, ein nilpotentes Element
• x₂ im Grad 2
• w im Grad 3, ein nilpotentes Element
• u₁ im Grad 5, ein nilpotentes Element
• u₂ im Grad 5
• t im Grad 6, ein nilpotentes Element
• r im Grad 8, ein reguläres Element

Es gibt 27 minimale Relationen:

• y₁.y₂ = 0
• y₁² = 0
• y₁.x₂ = y₂³
• y₁.x₁ = 0
• x₁.x₂ = y₂.w
• x₁² = y₂².x₁
• y₁.w = y₂².x₁
• x₁.w = y₂².w
• y₂³.x₂ = 0
• y₁.u₂ = y₂³.w
• w² = y₂.x₂.w + y₂².x₂² + y₂³.w
• y₂.u₁ = 0
• y₁.u₁ = y₂³.w
• x₂.u₁ = y₂².u₂
• x₁.u₂ = y₂.t + y₂².x₂.w
• x₁.u₁ = 0
• y₁.t = 0
• w.u₂ = x₂.t + y₂.x₂².w + y₂².t
• w.u₁ = y₂².t
• x₁.t = y₂².t
• w.t = y₂.x₂.t + y₂².x₂.u₂
• u₂² = x₂⁵ + y₂.x₂².u₂ + y₂².x₂⁴ + y₂².r
• u₁.u₂ = y₂².x₂⁴
• u₁² = 0
• u₂.t = x₂⁴.w + y₂.x₁.r
• u₁.t = y₂².x₂³.w
• t² = y₂.x₂⁴.w + y₂².x₂⁵ + y₂².x₂².t + y₂².x₁.r

Eine minimale Gröbnerbasis für das Relationenideal besteht aus diesen minimalen Relationen, zusammen mit folgenden überflüssigen Relationen:

• y₂⁴ = 0
• y₂³.x₁ = 0
• y₂³.u₂ = 0
• y₂³.t = 0

Ideal essentieller Klassen: Es gibt 2 minimale Erzeuger:

• y₂³
• y₂².x₁

Nilradikal: Es gibt 6 minimale Erzeuger:

• y₂
• y₁
• x₁
• w
• u₁
• t

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 12 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 12. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 12. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 1. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = r im Grad 8
• h₂ = x₂ im Grad 2

Der erste Term h₁ bildet eine reguläre Folge maximaler Länge. Der letzte Term h₂ wird von der Klasse y₂³ annulliert.

Der erste Term h₁ bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist frei vom Rang 3 als Modul über die Polynomalgebra auf h₁. Eine Basis dieses freien Moduls ist:

• G₁ = y₂³ im Grad 3
• G₂ = y₂².x₁ im Grad 4
• G₃ = y₂³.w im Grad 6

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 10 sind.

• 1 im Grad 0
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• x₁ im Grad 2
• y₂² im Grad 2
• w im Grad 3
• y₂.x₁ im Grad 3
• y₂².x₁ im Grad 4
• u₂ im Grad 5
• u₁ im Grad 5
• t im Grad 6
• y₂.u₂ im Grad 6
• y₂.t im Grad 7
• y₂².t im Grad 8

Eine Basis für Ann_R/(h1)(h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 8 sind.

• y₂³ im Grad 3
• y₂³.w im Grad 6

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 16gp12

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• x₁ hat Einschränkung y₁²
• x₂ hat Einschränkung y₃² + y₂.y₃ + y₁.y₃
• w hat Einschränkung y₂.y₃² + y₁.y₂.y₃ + y₁².y₃
• u₁ hat Einschränkung y₁.y₂.y₃³
• u₂ hat Einschränkung y₃⁵ + y₂.v + y₁.v + y₁.y₂.y₃³ + y₁².y₂.y₃²
• t hat Einschränkung y₂.y₃⁵ + y₁².v + y₁.y₂.y₃⁴ + y₁².y₃⁴
• r hat Einschränkung v² + y₃⁴.v + y₃⁸ + y₁².y₃⁶ + y₁².y₂.y₃⁵

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 16gp6

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung y₂² + y₁.y₂
• w hat Einschränkung w
• u₁ hat Einschränkung y₁.v
• u₂ hat Einschränkung y₂⁵ + y₁.v
• t hat Einschränkung y₂³.w + y₁.y₂.v
• r hat Einschränkung y₂⁸ + v²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 16gp6

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung y₂² + y₁.y₂
• w hat Einschränkung w
• u₁ hat Einschränkung y₁.v
• u₂ hat Einschränkung y₂⁵ + y₂².w
• t hat Einschränkung y₂³.w + y₁.y₂.v
• r hat Einschränkung y₂⁸ + v²

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung y₂²
• w hat Einschränkung 0
• u₁ hat Einschränkung 0
• u₂ hat Einschränkung y₂⁵
• t hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung y₂⁸ + y₁⁴.y₂⁴ + y₁⁸

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C2

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung 0
• u₁ hat Einschränkung 0
• u₂ hat Einschränkung 0
• t hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung y⁸

Poincaré-Reihe

(1 + 2t + 2t² + 2t³ + t⁴ + t⁵ + 2t⁶ + t⁷) / (1 - t²) (1 - t⁸)