Kleine Gruppe Nr. 10 der Ordnung 81

G ist die Gruppe 81gp10

G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 9. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 4 maximalen Untergruppen sind: Ab(9,3), M27 (3mal).

Es gibt eine Konjugationsklasse maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Jede hat Rang 2.

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 11 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• x₁ im Grad 2, ein nilpotentes Element
• x₂ im Grad 2, ein nilpotentes Element
• x₃ im Grad 2, ein nilpotentes Element
• w im Grad 3, ein nilpotentes Element
• v im Grad 4
• u im Grad 5, ein nilpotentes Element
• t₁ im Grad 6
• t₂ im Grad 6, ein reguläres Element
• s im Grad 7, ein nilpotentes Element

Es gibt 44 minimale Relationen:

• y₂² = 0
• y₁.y₂ = 0
• y₁² = 0
• y₂.x₃ = - y₁.x₃
• y₂.x₂ = y₁.x₃ + y₁.x₂
• y₂.x₁ = y₁.x₂
• y₁.x₁ = 0
• x₃² = - y₂.w
• x₂.x₃ = - y₂.w
• x₂² = y₂.w
• x₁.x₃ = y₂.w
• x₁.x₂ = 0
• x₁² = 0
• y₁.w = 0
• y₁.v = 0
• x₃.w = 0
• x₂.w = 0
• x₁.w = 0
• x₃.v = y₂.u
• x₂.v = 0
• x₁.v = 0
• w² = 0
• y₁.u = 0
• w.v = - y₂.t₁
• y₁.t₁ = 0
• x₃.u = 0
• x₂.u = 0
• x₁.u = 0
• x₃.t₁ = y₂.s
• x₂.t₁ = 0
• x₁.t₁ = 0
• w.u = - y₂.s
• y₁.s = 0
• w.t₁ = y₂.v²
• x₃.s = 0
• x₂.s = 0
• x₁.s = 0
• u² = 0
• w.s = y₂.v.u
• u.t₁ = v.s + y₂.v.t₁
• t₁² = - v³ - y₂.v.s
• u.s = y₂.v.s
• t₁.s = - v².u + y₂.v³
• s² = 0

Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis für das Relationenideal.

Ideal essentieller Klassen: Es gibt 3 minimale Erzeuger:

• y₁.x₃
• y₁.x₂
• y₂.w

Nilradikal: Es gibt 8 minimale Erzeuger:

• y₂
• y₁
• x₃
• x₂
• x₁
• w
• u
• s

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 14 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 14. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 14. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 1. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = t₂ im Grad 6
• h₂ = v im Grad 4

Der erste Term h₁ bildet eine reguläre Folge maximaler Länge. Der letzte Term h₂ wird von der Klasse y₁ annulliert.

Der erste Term h₁ bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist frei vom Rang 3 als Modul über die Polynomalgebra auf h₁. Eine Basis dieses freien Moduls ist:

• G₁ = y₁.x₃ im Grad 3
• G₂ = y₁.x₂ im Grad 3
• G₃ = y₂.w im Grad 4

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 10 sind.

• 1 im Grad 0
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• x₃ im Grad 2
• x₂ im Grad 2
• x₁ im Grad 2
• w im Grad 3
• y₁.x₃ im Grad 3
• y₁.x₂ im Grad 3
• y₂.w im Grad 4
• u im Grad 5
• t₁ im Grad 6
• s im Grad 7
• y₂.s im Grad 8

Eine Basis für Ann_R/(h1)(h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 6 sind.

• y₁ im Grad 1
• x₂ im Grad 2
• x₁ im Grad 2
• y₁.x₃ im Grad 3
• y₁.x₂ im Grad 3
• y₂.w im Grad 4

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 27gp2

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung 0
• x₃ hat Einschränkung y₁.y₂
• w hat Einschränkung - y₁.x₁
• v hat Einschränkung - x₁²
• u hat Einschränkung - y₂.x₁² - y₁.x₁.x₂ - y₁.x₁²
• t₁ hat Einschränkung - x₁³ - y₁.y₂.x₁²
• t₂ hat Einschränkung x₂³ - x₁².x₂
• s hat Einschränkung - y₂.x₁³ - y₁.x₁².x₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 27gp4

• y₁ hat Einschränkung - y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung y₁.y₂
• w hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung - x² - y₂.w
• u hat Einschränkung y₂.x²
• t₁ hat Einschränkung x³
• t₂ hat Einschränkung - t - y₂.u
• s hat Einschränkung - y₂.x³

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 27gp4

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung - y₁
• x₁ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung y₁.y₂
• w hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung - x² - y₂.w
• u hat Einschränkung y₂.x²
• t₁ hat Einschränkung x³
• t₂ hat Einschränkung t + y₂.u
• s hat Einschränkung - y₂.x³

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 27gp4

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung 0
• x₃ hat Einschränkung y₁.y₂
• w hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung - x² - y₂.w
• u hat Einschränkung y₂.x²
• t₁ hat Einschränkung x³
• t₂ hat Einschränkung t + y₂.u
• s hat Einschränkung - y₂.x³

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V9

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung 0
• x₃ hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung - x₁²
• u hat Einschränkung y₁.x₁²
• t₁ hat Einschränkung x₁³
• t₂ hat Einschränkung x₂³ - x₁².x₂
• s hat Einschränkung - y₁.x₁³

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C3

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung 0
• x₃ hat Einschränkung 0
• w hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung 0
• u hat Einschränkung 0
• t₁ hat Einschränkung 0
• t₂ hat Einschränkung - x³
• s hat Einschränkung 0

Poincaré-Reihe

(1 + 2t + 3t² + 3t³ + t⁴ - t⁶ - t⁷) / (1 - t⁴) (1 - t⁶)