Kleine Gruppe Nr. 12 der Ordnung 81

G = E27xC3 ist das Produkt E₂₇ x C₃

G hat 3 minimale Erzeugende, Rang 3 und Exponenten 3. Das Zentrum hat Rang 2.

Die 13 maximalen Untergruppen sind: E27 (9mal), V27 (4mal).

Es gibt 4 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 3 (4mal).

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 11 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₃ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• x₁ im Grad 2
• x₂ im Grad 2
• x₃ im Grad 2
• x₄ im Grad 2
• x₅ im Grad 2, ein reguläres Element
• w₁ im Grad 3, ein nilpotentes Element
• w₂ im Grad 3, ein nilpotentes Element
• t im Grad 6, ein reguläres Element

Es gibt 22 minimale Relationen:

• y₃² = 0
• y₂² = 0
• y₁.y₂ = 0
• y₁² = 0
• y₂.x₄ = y₁.x₂
• y₂.x₃ = y₁.x₂ + y₁.x₁
• y₂.x₁ = - y₁.x₁
• y₁.x₃ = y₁.x₂
• x₃.x₄ = x₂.x₃ + x₁² + y₁.w₂ + y₁.w₁
• x₃² = x₂.x₃ - y₁.w₂ + y₁.w₁
• x₂.x₄ = x₂.x₃ + x₁² + y₁.w₂ - y₁.w₁
• x₁.x₄ = - x₁² + y₁.w₂
• x₁.x₃ = x₁² - y₁.w₂ + y₁.w₁
• x₁.x₂ = x₁² + y₂.w₂
• y₂.w₁ = y₁.w₂ - y₁.w₁
• x₄.w₂ = x₄.w₁ + x₂.w₁ - y₁.x₁²
• x₃.w₂ = - x₂.w₁ + x₁.w₁ + y₁.x₁²
• x₃.w₁ = x₂.w₁
• x₁.w₂ = y₁.x₁²
• w₂² = 0
• w₁.w₂ = - y₁.x₁.w₁
• w₁² = 0

Eine minimale Gröbnerbasis für das Relationenideal besteht aus diesen minimalen Relationen, zusammen mit folgender überflüssigen Relation:

• y₁.x₂.w₂ = - y₁.x₂.w₁ + y₁.x₁.w₁

Ideal essentieller Klassen: Nullideal

Nilradikal: Es gibt 5 minimale Erzeuger:

• y₃
• y₂
• y₁
• w₂
• w₁

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 10 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 6. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 10. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 3 und Tiefe 3. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = x₅ im Grad 2
• h₂ = t im Grad 6
• h₃ = x₄ - x₃ - x₂ - x₁ im Grad 2

Die ersten 3 Terme h₁, h₂, h₃ bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, ihre Einschränkungen auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist das Nullideal.

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂, h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 10 sind.

• 1 im Grad 0
• y₃ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• x₃ im Grad 2
• x₂ im Grad 2
• x₁ im Grad 2
• y₂.y₃ im Grad 2
• y₁.y₃ im Grad 2
• w₂ im Grad 3
• w₁ im Grad 3
• y₃.x₃ im Grad 3
• y₃.x₂ im Grad 3
• y₃.x₁ im Grad 3
• y₁.x₂ im Grad 3
• y₁.x₁ im Grad 3
• y₃.w₂ im Grad 4
• y₃.w₁ im Grad 4
• y₂.w₂ im Grad 4
• y₁.w₂ im Grad 4
• y₁.w₁ im Grad 4
• y₁.y₃.x₂ im Grad 4
• y₁.y₃.x₁ im Grad 4
• x₂.w₁ im Grad 5
• x₁.w₁ im Grad 5
• y₂.y₃.w₂ im Grad 5
• y₁.y₃.w₂ im Grad 5
• y₁.y₃.w₁ im Grad 5
• y₃.x₂.w₁ im Grad 6
• y₃.x₁.w₁ im Grad 6
• y₁.x₁.w₁ im Grad 6
• y₁.y₃.x₁.w₁ im Grad 7

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V27

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung y₂.y₃
• x₂ hat Einschränkung x₂
• x₃ hat Einschränkung 0
• x₄ hat Einschränkung 0
• x₅ hat Einschränkung x₁
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung y₃.x₂ - y₂.x₃
• t hat Einschränkung x₃³ - x₂².x₃

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V27

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung y₂.y₃
• x₂ hat Einschränkung 0
• x₃ hat Einschränkung - y₂.y₃
• x₄ hat Einschränkung x₂
• x₅ hat Einschränkung x₁
• w₁ hat Einschränkung y₃.x₂ - y₂.x₃
• w₂ hat Einschränkung y₃.x₂ - y₂.x₃
• t hat Einschränkung x₃³ - x₂².x₃ - y₂.y₃.x₂²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu V27

• y₁ hat Einschränkung - y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung x₂
• x₂ hat Einschränkung x₂
• x₃ hat Einschränkung x₂ + y₂.y₃
• x₄ hat Einschränkung - x₂
• x₅ hat Einschränkung x₁
• w₁ hat Einschränkung - y₃.x₂ + y₂.x₃ + y₂.x₂
• w₂ hat Einschränkung - y₂.x₂
• t hat Einschränkung x₃³ - x₂².x₃ + x₂³ + y₂.y₃.x₂²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu V27

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung - y₂.y₃
• x₂ hat Einschränkung x₂
• x₃ hat Einschränkung x₂ - y₂.y₃
• x₄ hat Einschränkung x₂
• x₅ hat Einschränkung x₁
• w₁ hat Einschränkung y₃.x₂ - y₂.x₃
• w₂ hat Einschränkung - y₃.x₂ + y₂.x₃
• t hat Einschränkung x₃³ - x₂².x₃

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu 27gp3

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung - x₂ + x₁
• x₂ hat Einschränkung x₄
• x₃ hat Einschränkung x₄ + x₂
• x₄ hat Einschränkung x₄ + x₃
• x₅ hat Einschränkung 0
• w₁ hat Einschränkung - w₂ + y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung - w₂ - w₁ + y₁.x₂ - y₁.x₁
• t hat Einschränkung x₁³ - t + y₂.x₃.w₂ - y₁.x₄.w₁ - y₁.x₁.w₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu 27gp3

• y₁ hat Einschränkung - y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂ - y₁
• x₁ hat Einschränkung x₃ - x₁
• x₂ hat Einschränkung x₄ + x₃
• x₃ hat Einschränkung x₄ + x₃ - x₂ + x₁
• x₄ hat Einschränkung x₄ - x₃
• x₅ hat Einschränkung - x₄ + x₃
• w₁ hat Einschränkung w₂ + w₁ + y₂.x₃ - y₁.x₂ - y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung w₁ - y₂.x₃ - y₁.x₂ + y₁.x₁
• t hat Einschränkung x₃³ + x₁².x₂ - x₁³ - t - y₂.x₃.w₂ - y₁.x₄.w₁ + y₁.x₁.w₂ - y₁.x₁.w₁

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu 27gp3

• y₁ hat Einschränkung - y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung - y₂
• y₃ hat Einschränkung - y₂ + y₁
• x₁ hat Einschränkung - x₂
• x₂ hat Einschränkung - x₃
• x₃ hat Einschränkung - x₃ - x₂ + x₁
• x₄ hat Einschränkung x₄ - x₃
• x₅ hat Einschränkung x₄ - x₃
• w₁ hat Einschränkung w₂ + w₁ - y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung - w₂ - y₁.x₂
• t hat Einschränkung - t - y₁.x₁.w₂ - y₁.x₁.w₁

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 8, isomorph zu 27gp3

• y₁ hat Einschränkung - y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung - y₂ - y₁
• x₁ hat Einschränkung x₄ - x₂ - x₁
• x₂ hat Einschränkung x₄ + x₃
• x₃ hat Einschränkung x₄ + x₁
• x₄ hat Einschränkung - x₄
• x₅ hat Einschränkung - x₄ - x₃
• w₁ hat Einschränkung w₁ + y₁.x₄ - y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung - w₂ + w₁ - y₁.x₄ + y₁.x₁
• t hat Einschränkung x₄³ - x₁³ - t + y₁.x₄.w₁ + y₁.x₁.w₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 9, isomorph zu 27gp3

• y₁ hat Einschränkung - y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung - y₂ - y₁
• y₃ hat Einschränkung - y₂
• x₁ hat Einschränkung - x₄ + x₂ + x₁
• x₂ hat Einschränkung - x₄ - x₃
• x₃ hat Einschränkung - x₄ - x₃ + x₂ - x₁
• x₄ hat Einschränkung x₄ - x₃
• x₅ hat Einschränkung - x₃
• w₁ hat Einschränkung - w₂ - w₁ + y₁.x₄ - y₁.x₂ - y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung w₂ - w₁ - y₁.x₄ - y₁.x₂ + y₁.x₁
• t hat Einschränkung - x₄³ + x₁³ + t + y₁.x₁.w₂ + y₁.x₁.w₁

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 10, isomorph zu 27gp3

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung - y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung - y₂ - y₁
• x₁ hat Einschränkung - x₃ + x₁
• x₂ hat Einschränkung x₄ - x₃
• x₃ hat Einschränkung - x₃ + x₂ + x₁
• x₄ hat Einschränkung x₃
• x₅ hat Einschränkung - x₄ - x₃
• w₁ hat Einschränkung - w₂ + w₁ + y₂.x₃ + y₁.x₂ - y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung - w₁ - y₂.x₃ + y₁.x₁
• t hat Einschränkung - x₃³ + x₁².x₂ + x₁³ - t + y₂.x₃.w₂ - y₁.x₄.w₁ + y₁.x₁.w₁

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 11, isomorph zu 27gp3

• y₁ hat Einschränkung - y₂ - y₁
• y₂ hat Einschränkung - y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung - y₂ + y₁
• x₁ hat Einschränkung x₄ - x₂ - x₁
• x₂ hat Einschränkung x₄ - x₃
• x₃ hat Einschränkung x₄ - x₃ - x₂
• x₄ hat Einschränkung - x₄ - x₃
• x₅ hat Einschränkung x₄ - x₃
• w₁ hat Einschränkung w₂ + y₁.x₄ + y₁.x₂ - y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung - w₂ + w₁ - y₁.x₄ + y₁.x₁
• t hat Einschränkung x₄³ - x₁³ - t + y₁.x₄.w₁ - y₁.x₁.w₂ - y₁.x₁.w₁

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 12, isomorph zu 27gp3

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung - y₁
• y₃ hat Einschränkung - y₂ + y₁
• x₁ hat Einschränkung - x₄ + x₂ + x₁
• x₂ hat Einschränkung - x₄
• x₃ hat Einschränkung - x₄ - x₂
• x₄ hat Einschränkung x₄ + x₃
• x₅ hat Einschränkung x₄ - x₃
• w₁ hat Einschränkung w₂ + y₁.x₄ + y₁.x₂ - y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung w₂ - w₁ - y₁.x₄ - y₁.x₂ + y₁.x₁
• t hat Einschränkung - x₄³ + x₁³ + t - y₂.x₃.w₂ - y₁.x₁.w₁

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 13, isomorph zu 27gp3

• y₁ hat Einschränkung - y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung x₃ - x₁
• x₂ hat Einschränkung x₄ + x₃
• x₃ hat Einschränkung x₃ + x₂ + x₁
• x₄ hat Einschränkung - x₃
• x₅ hat Einschränkung x₄
• w₁ hat Einschränkung - w₂ + w₁ + y₂.x₃ + y₁.x₂ - y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung w₁ - y₂.x₃ - y₁.x₂ + y₁.x₁
• t hat Einschränkung x₃³ - x₁².x₂ - x₁³ + t + y₂.x₃.w₂ + y₁.x₄.w₁ + y₁.x₁.w₂

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V27

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₃
• x₁ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung 0
• x₃ hat Einschränkung y₁.y₂
• x₄ hat Einschränkung x₂ + x₁
• x₅ hat Einschränkung x₃
• w₁ hat Einschränkung - y₂.x₁ + y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung - y₂.x₁ + y₁.x₂
• t hat Einschränkung - x₁.x₂² + x₁².x₂ + y₁.y₂.x₂² - y₁.y₂.x₁.x₂ + y₁.y₂.x₁²

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V27

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung y₂
• x₁ hat Einschränkung - y₁.y₃
• x₂ hat Einschränkung x₃
• x₃ hat Einschränkung 0
• x₄ hat Einschränkung 0
• x₅ hat Einschränkung x₂
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung - y₃.x₁ + y₁.x₃
• t hat Einschränkung - x₁.x₃² + x₁³

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 3, isomorph zu V27

• y₁ hat Einschränkung y₃
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung y₂
• x₁ hat Einschränkung y₁.y₃
• x₂ hat Einschränkung x₃
• x₃ hat Einschränkung x₃ + y₁.y₃
• x₄ hat Einschränkung x₃
• x₅ hat Einschränkung x₂
• w₁ hat Einschränkung - y₃.x₁ + y₁.x₃
• w₂ hat Einschränkung y₃.x₁ - y₁.x₃
• t hat Einschränkung - x₁.x₃² + x₁³

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 4, isomorph zu V27

• y₁ hat Einschränkung - y₃
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung y₂
• x₁ hat Einschränkung x₃
• x₂ hat Einschränkung x₃
• x₃ hat Einschränkung x₃ - y₁.y₃
• x₄ hat Einschränkung - x₃
• x₅ hat Einschränkung x₂
• w₁ hat Einschränkung y₃.x₃ + y₃.x₁ - y₁.x₃
• w₂ hat Einschränkung - y₃.x₃
• t hat Einschränkung x₃³ - x₁.x₃² + x₁³ - y₁.y₃.x₃²

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu V9

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung - y₁
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung 0
• x₃ hat Einschränkung 0
• x₄ hat Einschränkung 0
• x₅ hat Einschränkung - x₁
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung 0
• t hat Einschränkung x₂³

Poincaré-Reihe

(1 + 3t + 5t² + 7t³ + 7t⁴ + 5t⁵ + 3t⁶ + t⁷) / (1 - t²)² (1 - t⁶)