Kleine Gruppe Nr. 9 der Ordnung 81
G = Syl3(U3(8)) ist die 3-Sylowgruppe von U3(8)
G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 9.
Das Zentrum hat Rang 1.
Die 4 maximalen Untergruppen sind:
Ab(9,3), E27 (3mal).
Es gibt 4 Konjugationsklassen maximaler
elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang
2 (4mal).
Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.
Ringstruktur
| Informationen zur Vollständigkeit
| Koszul-Informationen
| Einschränkungen auf Untergruppen
| Poincaré-Reihe
Der Kohomologiering hat 9 Erzeuger:
- y1 im Grad 1, ein nilpotentes Element
- y2 im Grad 1, ein nilpotentes Element
- x1 im Grad 2
- x2 im Grad 2
- x3 im Grad 2
- x4 im Grad 2
- w1 im Grad 3, ein nilpotentes Element
- w2 im Grad 3, ein nilpotentes Element
- t im Grad 6, ein reguläres Element
Es gibt 21 minimale Relationen:
- y22 =
0
- y1.y2 =
0
- y12 =
0
- y2.x4 =
y1.x1
- y2.x2 =
y1.x2
- y2.x1 =
y1.x2
- y1.x1
- y1.x3 =
y1.x2
+ y1.x1
- x3.x4 =
- x1.x2
- x12
+ y1.w1
- x2.x4 =
x1.x2
- x2.x3 =
y2.w2
- x22 =
- x1.x2
- x1.x4 =
x1.x2
- x12
- x1.x3 =
x1.x2
+ x12
+ y1.w2
- y1.w1
- y2.w1 =
y1.w2
- y1.w1
- x4.w2 =
x4.w1
+ x1.w1
+ y1.x12
- x3.w1 =
x1.w2
+ x1.w1
+ y2.x32
- y1.x12
- x2.w2 =
- x1.w2
- y1.x1.x2
- y1.x12
- x2.w1 =
x1.w2
- y1.x1.x2
+ y1.x12
- w22 =
0
- w1.w2 =
y2.x3.w2
- y1.x1.w2
+ y1.x1.w1
- w12 =
0
Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis
für das Relationenideal.
Ideal essentieller Klassen:
Nullideal
Nilradikal:
Es gibt 4 minimale Erzeuger:
Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis
zum Grad 8 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings
ist ab dem 6. Grad stabil.
Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 8. Grad
fest.
Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 2.
Ein homogenes Parametersystem ist
- h1 =
t
im Grad 6
- h2 =
x4
+ x3
- x2
- x1
im Grad 2
Die ersten 2 Terme h1, h2 bilden
eine reguläre Folge maximaler Länge.
Der erste Term h1 bildet
eine vollständige Duflot-reguläre Folge.
Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte
zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine
reguläre Folge maximaler Länge.
Das Ideal essentieller Klassen ist
das Nullideal.
Eine Basis für R/(h1, h2) ist wie folgt.
Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente
vom Grad kleiner als 8 sind.
-
1
im Grad 0
-
y2
im Grad 1
-
y1
im Grad 1
-
x3
im Grad 2
-
x2
im Grad 2
-
x1
im Grad 2
-
w2
im Grad 3
-
w1
im Grad 3
-
y1.x2
im Grad 3
-
y1.x1
im Grad 3
-
y2.w2
im Grad 4
-
y1.w2
im Grad 4
-
y1.w1
im Grad 4
-
x1.w2
im Grad 5
-
x1.w1
im Grad 5
-
y1.x1.w2
im Grad 6
Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 27gp2
- y1 hat Einschränkung
0
- y2 hat Einschränkung
y1
- x1 hat Einschränkung
0
- x2 hat Einschränkung
y1.y2
- x3 hat Einschränkung
x1
+ y1.y2
- x4 hat Einschränkung
0
- w1 hat Einschränkung
y1.x1
- w2 hat Einschränkung
y2.x1
+ y1.x2
- t hat Einschränkung
- x23
+ x12.x2
- x13
+ y1.y2.x12
Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 27gp3
- y1 hat Einschränkung
y1
- y2 hat Einschränkung
0
- x1 hat Einschränkung
0
- x2 hat Einschränkung
0
- x3 hat Einschränkung
x3
- x1
- x4 hat Einschränkung
x4
- w1 hat Einschränkung
w1
+ y1.x2
- w2 hat Einschränkung
w1
+ y2.x3
- y1.x1
- t hat Einschränkung
- x33
- x12.x2
+ x13
+ t
- y1.x4.w1
+ y1.x1.w2
- y1.x1.w1
Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 27gp3
- y1 hat Einschränkung
- y2
+ y1
- y2 hat Einschränkung
y2
- y1
- x1 hat Einschränkung
- x4
+ x3
- x2 hat Einschränkung
0
- x3 hat Einschränkung
- x4
+ x3
- x2
+ x1
- x4 hat Einschränkung
x4
- x3
- w1 hat Einschränkung
- w2
- w1
- w2 hat Einschränkung
y2.x3
+ y1.x4
- y1.x2
- y1.x1
- t hat Einschränkung
- x43
+ x33
- x13
+ t
+ y1.x4.w1
+ y1.x1.w2
Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 27gp3
- y1 hat Einschränkung
- y2
- y2 hat Einschränkung
- y2
- x1 hat Einschränkung
- x3
- x2 hat Einschränkung
x3
- x3 hat Einschränkung
x4
- x2
- x1
- x4 hat Einschränkung
- x3
- w1 hat Einschränkung
- w2
+ w1
- y1.x2
- w2 hat Einschränkung
w2
- w1
+ y2.x3
+ y1.x4
- y1.x1
- t hat Einschränkung
- x43
+ x13
+ t
+ y1.x4.w1
+ y1.x1.w2
Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V9
- y1 hat Einschränkung
y2
- y2 hat Einschränkung
0
- x1 hat Einschränkung
0
- x2 hat Einschränkung
0
- x3 hat Einschränkung
y1.y2
- x4 hat Einschränkung
x2
- w1 hat Einschränkung
y2.x1
- y1.x2
- w2 hat Einschränkung
y2.x1
- y1.x2
- t hat Einschränkung
x1.x22
- x13
+ y1.y2.x22
Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V9
- y1 hat Einschränkung
0
- y2 hat Einschränkung
0
- x1 hat Einschränkung
0
- x2 hat Einschränkung
0
- x3 hat Einschränkung
- x1
- x4 hat Einschränkung
0
- w1 hat Einschränkung
0
- w2 hat Einschränkung
y1.x1
- t hat Einschränkung
- x23
+ x12.x2
+ x13
Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 3, isomorph zu V9
- y1 hat Einschränkung
- y2
- y2 hat Einschränkung
y2
- x1 hat Einschränkung
x2
- x2 hat Einschränkung
0
- x3 hat Einschränkung
x2
- y1.y2
- x4 hat Einschränkung
- x2
- w1 hat Einschränkung
- y2.x1
+ y1.x2
- w2 hat Einschränkung
y2.x2
- t hat Einschränkung
x23
+ x1.x22
- x13
Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 4, isomorph zu V9
- y1 hat Einschränkung
y2
- y2 hat Einschränkung
y2
- x1 hat Einschränkung
x2
- x2 hat Einschränkung
- x2
- x3 hat Einschränkung
y1.y2
- x4 hat Einschränkung
x2
- w1 hat Einschränkung
y2.x1
- y1.x2
- w2 hat Einschränkung
y2.x2
- y2.x1
+ y1.x2
- t hat Einschränkung
x1.x22
- x13
Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C3
- y1 hat Einschränkung
0
- y2 hat Einschränkung
0
- x1 hat Einschränkung
0
- x2 hat Einschränkung
0
- x3 hat Einschränkung
0
- x4 hat Einschränkung
0
- w1 hat Einschränkung
0
- w2 hat Einschränkung
0
- t hat Einschränkung
x3
(1 + 2t + 3t2
+ 4t3 + 3t4 + 2t5
+ t6) /
(1 - t2) (1 - t6)
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