Vorlesung: Moderne Methoden der Analysis:
Funktionenräume mit variablen Exponenten
Henning Kempka
Die Vorlesung befasst sich mit dem Thema der variablen Lebesgue-Räume,
bezeichnet mit Lp(⋅)(Ω). Hierbei ist p : Ω → [1,∞] der variable Exponent
und eine meßbare Funktion f : Ω → ℂ gehört zu Lp(⋅)(Ω) falls für ein
λ > 0
∫
Ω p(x)dx endlich ist. | | |
Diese Räume wurden schon 1931 von Orlicz eingeführt. Das große Interesse an
diesen Räumen heutzutage liegt an neuen Resultaten der letzten Jahre.
Insbesondere die Beschränktheit des Hardy-Littlewood-Maximaloperators auf
Lp(⋅)(Ω) unter bestimmten Voraussetzungen an p(⋅), hat die Forschung auf dem
Gebiet der Räume mit variablen Exponenten beflügelt.
Die Themen der Vorlesung werden zur Zeit sehr aktiv erforscht und so zeichnet
sich die Vorlesung durch ihre hohe Aktualität aus.
Unter anderem besitzen diese Räume schöne Eigenschaften um sie bei bestimmten
partiellen Differentialgleichungen anzuwenden. So lassen sich zum Beispiel
elektrorheologische Flüssigkeiten (Flüssigkeiten welche ihre Viskosität unter
Einfluss eines elektrischen Feldes ändern) sehr natürlich im Kontext der variablen
Lebesque Räume Lp(⋅)(Ω) und den darauf aufbauenden Sobolevräumen Wp(⋅)1(Ω)
beschreiben.
In der Vorlesung wird gezeigt
- Definition der Räume Lp(⋅)(Ω) und grundlegende Eigenschaften
- Theorie der Musielak-Orlicz Räume
- Vollständigkeit, Seperabilität und Translationsinvarianz/Faltung
- Beschränktheit des Hardy-Littlewood-Maximaloperators
- Sobolev-, Besov- und Triebel-Lizorkin-Räume mit variabler
Integrabilität und variabler Glattheit (Falls die Zeit reicht und je nach
Interessenlage der Studierenden)
Als Vorwissen werden Grundkenntnisse der Maß und Integrationstheorie und der
Fourieranalysis vorausgesetzt.
Die Vorlesungsbeschreibung auch nochmal als pdf.