Kleine Gruppe Nr. 13 der Ordnung 16

G ist die Gruppe 16gp13

Nach Hall-Senior hat diese Gruppe die Nummer 8.

G hat 3 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 4. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 7 maximalen Untergruppen sind: Ab(4,2) (3mal), D8 (3mal), Q8.

Es gibt 3 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 2 (3mal).

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 4 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₃ im Grad 1
• v im Grad 4, ein reguläres Element

Es gibt 2 minimale Relationen:

• y₂² = y₁.y₃
• y₁.y₃² = y₁².y₃

Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis für das Relationenideal.

Ideal essentieller Klassen: Nullideal

Nilradikal: Es gibt 2 minimale Erzeuger:

• y₂.y₃ + y₁.y₂
• y₁.y₃ + y₁.y₂

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 6 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 4. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 6. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 2. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = v im Grad 4
• h₂ = y₃² + y₂.y₃ + y₁² im Grad 2

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Der erste Term h₁ bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist das Nullideal.

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 6 sind.

• 1 im Grad 0
• y₃ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• y₂.y₃ im Grad 2
• y₁.y₃ im Grad 2
• y₁.y₂ im Grad 2
• y₁² im Grad 2
• y₁².y₃ im Grad 3
• y₁².y₂ im Grad 3
• y₁³ im Grad 3
• y₁⁴ im Grad 4

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 8gp2

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung x² + y₂².x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 8gp2

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung x² + y₂².x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 8gp2

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung x² + y₂².x + y₂⁴

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 8gp3

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung x²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu 8gp3

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung y₂⁴ + x²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu 8gp3

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• v hat Einschränkung y₂⁴ + x²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu 8gp4

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• v hat Einschränkung v

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• v hat Einschränkung y₁².y₂²

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung y₁².y₂² + y₁⁴

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 3, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung y₂⁴ + y₁².y₂² + y₁⁴

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C2

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung y⁴

Poincaré-Reihe

(1 + 3t + 4t² + 3t³ + t⁴) / (1 - t²) (1 - t⁴)