Kleine Gruppe Nr. 27 der Ordnung 32

G ist die Gruppe 32gp27

Nach Hall-Senior hat diese Gruppe die Nummer 33.

G hat 3 minimale Erzeugende, Rang 4 und Exponenten 4. Das Zentrum hat Rang 2.

Die 7 maximalen Untergruppen sind: D8xC2 (3mal), 16gp3 (3mal), V16.

Es gibt 2 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 3, 4.

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 6 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₃ im Grad 1
• x₁ im Grad 2
• x₂ im Grad 2, ein reguläres Element
• x₃ im Grad 2, ein reguläres Element

Es gibt 4 minimale Relationen:

• y₂.y₃ = 0
• y₁.y₃ = 0
• y₃.x₁ = 0
• x₁² = y₁.y₂.x₁ + y₂².x₂ + y₁².x₃

Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis für das Relationenideal.

Ideal essentieller Klassen: Nullideal

Nilradikal: Nullideal

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 12 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 4. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 8. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 4 und Tiefe 3. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = x₂ im Grad 2
• h₂ = x₃ im Grad 2
• h₃ = y₃² + y₁² im Grad 2
• h₄ = y₂² im Grad 2

Die ersten 3 Terme h₁, h₂, h₃ bilden eine reguläre Folge maximaler Länge. Der letzte Term h₄ wird von der Klasse y₃ annulliert.

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, ihre Einschränkungen auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist das Nullideal.

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂, h₃, h₄) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 8 sind.

• 1 im Grad 0
• y₃ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• x₁ im Grad 2
• y₁.y₂ im Grad 2
• y₁² im Grad 2
• y₂.x₁ im Grad 3
• y₁.x₁ im Grad 3
• y₁.y₂.x₁ im Grad 4

Eine Basis für Ann_{R/(h1, h2, h3)}(h₄) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 6 sind.

• y₃ im Grad 1
• y₁² im Grad 2

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V16

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung y₂.y₃ + y₁.y₄
• x₂ hat Einschränkung y₄² + y₂.y₄
• x₃ hat Einschränkung y₃² + y₁.y₃

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung y₂² + y₂.y₃
• x₂ hat Einschränkung y₂² + y₁.y₃ + y₃²
• x₃ hat Einschränkung x + y₂.y₃ + y₁.y₃ + y₃²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 16gp3

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung x₁
• x₂ hat Einschränkung x₂
• x₃ hat Einschränkung x₃

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung y₂.y₃
• x₂ hat Einschränkung x
• x₃ hat Einschränkung y₁.y₃ + y₃²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu 16gp3

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung x₁ + y₂²
• x₂ hat Einschränkung x₃
• x₃ hat Einschränkung y₂² + x₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung y₂.y₃
• x₂ hat Einschränkung x
• x₃ hat Einschränkung x + y₂.y₃ + y₁.y₃ + y₃²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu 16gp3

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung x₁
• x₂ hat Einschränkung x₃
• x₃ hat Einschränkung x₁ + x₃ + x₂

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₃ + y₂ + y₁
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung y₂.y₃ + y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung y₁.y₃ + y₁.y₂

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V16

• y₁ hat Einschränkung y₄
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung y₂.y₄ + y₁.y₃
• x₂ hat Einschränkung y₁.y₄ + y₁²
• x₃ hat Einschränkung y₂.y₃ + y₂²

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung y₂²
• x₃ hat Einschränkung y₁²

Poincaré-Reihe

(1 + 3t + 3t² + t³) / (1 - t²)⁴