Kleine Gruppe Nr. 33 der Ordnung 32

G ist die Gruppe 32gp33

Nach Hall-Senior hat diese Gruppe die Nummer 41.

G hat 3 minimale Erzeugende, Rang 3 und Exponenten 4. Das Zentrum hat Rang 2.

Die 7 maximalen Untergruppen sind: Ab(4,4), 16gp3 (3mal), 16gp4 (3mal).

Es gibt eine Konjugationsklasse maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Jede hat Rang 3.

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 8 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₃ im Grad 1
• w₁ im Grad 3, ein nilpotentes Element
• w₂ im Grad 3
• w₃ im Grad 3
• v₁ im Grad 4, ein reguläres Element
• v₂ im Grad 4, ein reguläres Element

Es gibt 14 minimale Relationen:

• y₂.y₃ = y₁²
• y₁.y₃ = y₂² + y₁²
• y₁.y₂² = y₁³
• y₁².y₂ = 0
• y₃.w₁ = y₁.w₂ + y₂.w₁
• y₂.w₃ = y₁.w₁
• y₂.w₂ = y₁.w₂ + y₂.w₁
• y₁.w₃ = y₁.w₂ + y₂.w₁
• y₂².w₁ = y₁.y₂.w₁ + y₁².w₁
• w₃² = y₃².v₂ + y₁².v₁
• w₂² = y₃².v₂ + y₃².v₁ + y₂².v₂
• w₁.w₃ = y₂².v₂ + y₁.y₂.v₁ + y₁².v₂
• w₁.w₂ = y₂².v₂ + y₁.y₂.v₂ + y₁².v₂ + y₁².v₁
• w₁² = y₂².v₁ + y₁².v₂

Eine minimale Gröbnerbasis für das Relationenideal besteht aus diesen minimalen Relationen, zusammen mit folgenden überflüssigen Relationen:

• y₂³ = y₁².y₂ + y₁³
• y₁⁴ = 0
• y₁².w₂ = y₂².w₁ + y₁.y₂.w₁ + y₁².w₁
• y₁³.w₁ = 0

Ideal essentieller Klassen: Es gibt 3 minimale Erzeuger:

• y₁³
• y₁.y₂.w₁
• y₁².w₁

Nilradikal: Es gibt 3 minimale Erzeuger:

• y₂
• y₁
• w₁

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 12 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 6. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 10. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 3 und Tiefe 2. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = v₁ im Grad 4
• h₂ = v₂ im Grad 4
• h₃ = y₃² im Grad 2

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine reguläre Folge maximaler Länge. Der letzte Term h₃ wird von der Klasse y₂ annulliert.

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, ihre Einschränkungen auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist frei vom Rang 3 als Modul über die Polynomalgebra auf h₁, h₂. Eine Basis dieses freien Moduls ist:

• G₁ = y₁³ im Grad 3
• G₂ = y₁.y₂.w₁ im Grad 5
• G₃ = y₁².w₁ im Grad 5

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂, h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 10 sind.

• 1 im Grad 0
• y₃ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• y₂² im Grad 2
• y₁.y₂ im Grad 2
• y₁² im Grad 2
• w₃ im Grad 3
• w₂ im Grad 3
• w₁ im Grad 3
• y₁³ im Grad 3
• y₃.w₃ im Grad 4
• y₃.w₂ im Grad 4
• y₁.w₂ im Grad 4
• y₂.w₁ im Grad 4
• y₁.w₁ im Grad 4
• y₁.y₂.w₁ im Grad 5
• y₁².w₁ im Grad 5
• w₂.w₃ im Grad 6
• y₃.w₂.w₃ im Grad 7

Eine Basis für Ann_{R/(h1, h2)}(h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 8 sind.

• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• y₂² im Grad 2
• y₁.y₂ im Grad 2
• y₁² im Grad 2
• w₁ im Grad 3
• y₁³ im Grad 3
• y₁.w₂ im Grad 4
• y₂.w₁ im Grad 4
• y₁.w₁ im Grad 4
• y₁.y₂.w₁ im Grad 5
• y₁².w₁ im Grad 5

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 16gp2

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung 0
• w₁ hat Einschränkung y₂.x₁ + y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung y₁.x₁
• w₃ hat Einschränkung y₂.x₂
• v₁ hat Einschränkung x₂² + y₁.y₂.x₁
• v₂ hat Einschränkung x₁²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 16gp3

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• w₁ hat Einschränkung y₁.x₃ + y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung y₂.x₁ + y₂.x₂ + y₁.x₃ + y₁.x₂
• w₃ hat Einschränkung y₂.x₃ + y₁.x₃
• v₁ hat Einschränkung y₂².x₂ + x₃² + x₂²
• v₂ hat Einschränkung x₃²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 16gp4

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• w₁ hat Einschränkung y₂.x₂ + y₂.x₁ + y₁.x₁
• w₂ hat Einschränkung y₂.x₁ + y₁.x₂
• w₃ hat Einschränkung y₂.x₁ + y₁.x₁
• v₁ hat Einschränkung x₂² + y₁.y₂.x₂ + y₁.y₂.x₁
• v₂ hat Einschränkung x₂² + x₁² + y₁.y₂.x₁

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 16gp3

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• w₁ hat Einschränkung y₁.x₃ + y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung y₂.x₃ + y₁.x₃
• w₃ hat Einschränkung y₂.x₁ + y₂.x₃ + y₂.x₂ + y₁.x₃
• v₁ hat Einschränkung y₂².x₂ + x₂²
• v₂ hat Einschränkung y₂².x₂ + x₃² + x₂²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu 16gp4

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₂
• w₁ hat Einschränkung y₂.x₂ + y₂.x₁ + y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung y₂.x₁
• w₃ hat Einschränkung y₂.x₂ + y₂.x₁ + y₁.x₁
• v₁ hat Einschränkung x₁²
• v₂ hat Einschränkung x₂² + y₁.y₂.x₁

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu 16gp3

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• w₁ hat Einschränkung y₁.x₃ + y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung y₂.x₁ + y₂.x₃ + y₂.x₂ + y₁.x₃
• w₃ hat Einschränkung y₂.x₁ + y₂.x₂ + y₁.x₃ + y₁.x₂
• v₁ hat Einschränkung x₃²
• v₂ hat Einschränkung y₂².x₂ + x₂²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu 16gp4

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• w₁ hat Einschränkung y₂.x₂ + y₂.x₁ + y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung y₂.x₂ + y₂.x₁ + y₁.x₁
• w₃ hat Einschränkung y₂.x₁ + y₁.x₂ + y₁.x₁
• v₁ hat Einschränkung x₂² + x₁² + y₁.y₂.x₂
• v₂ hat Einschränkung x₁²

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₃ + y₂ + y₁
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung y₂.y₃² + y₂².y₃ + y₁.y₂² + y₁².y₂
• w₃ hat Einschränkung y₂.y₃² + y₂².y₃ + y₁.y₃² + y₁².y₃
• v₁ hat Einschränkung y₁².y₃² + y₁².y₂²
• v₂ hat Einschränkung y₂².y₃² + y₁².y₃²

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung 0
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung 0
• w₃ hat Einschränkung 0
• v₁ hat Einschränkung y₂⁴
• v₂ hat Einschränkung y₁⁴

Poincaré-Reihe

(1 + 3t + 3t² + 2t³ + 2t⁴ - 2t⁶ - t⁷) / (1 - t²) (1 - t⁴)²