Kleine Gruppe Nr. 44 der Ordnung 32

G ist die Gruppe 32gp44

Nach Hall-Senior hat diese Gruppe die Nummer 45.

G hat 3 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 8. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 7 maximalen Untergruppen sind: Q8xC2, 16gp13, 16gp6, SD16 (2mal), 16gp9 (2mal).

Es gibt 2 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 2 (2mal).

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 6 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1
• y₃ im Grad 1
• u₁ im Grad 5, ein nilpotentes Element
• u₂ im Grad 5
• r im Grad 8, ein reguläres Element

Es gibt 9 minimale Relationen:

• y₁.y₃ = 0
• y₂².y₃ = y₁³
• y₁³.y₂² = 0
• y₃.u₁ = 0
• y₁.u₂ = 0
• y₂².u₂ = y₁².u₁
• u₂² = y₃².r
• u₁.u₂ = 0
• u₁² = y₁.y₂⁴.u₁ + y₁².y₂⁸ + y₁².r + y₁².y₂³.u₁

Eine minimale Gröbnerbasis für das Relationenideal besteht aus diesen minimalen Relationen, zusammen mit folgenden überflüssigen Relationen:

• y₁⁴ = 0
• y₁³.u₁ = 0

Ideal essentieller Klassen: Es gibt einen minimalen Erzeuger:

• y₁³.y₂

Nilradikal: Es gibt 4 minimale Erzeuger:

• y₁
• y₂.y₃
• u₁
• y₂.u₂

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 12 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 10. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 10. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 1. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = r im Grad 8
• h₂ = y₃² + y₂² im Grad 2

Der erste Term h₁ bildet eine reguläre Folge maximaler Länge. Der letzte Term h₂ wird von der Klasse y₁³ annulliert.

Der erste Term h₁ bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist frei vom Rang 1 als Modul über die Polynomalgebra auf h₁. Eine Basis dieses freien Moduls ist:

• G₁ = y₁³.y₂ im Grad 4

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 10 sind.

• 1 im Grad 0
• y₃ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• y₂.y₃ im Grad 2
• y₂² im Grad 2
• y₁.y₂ im Grad 2
• y₁² im Grad 2
• y₂³ im Grad 3
• y₁².y₂ im Grad 3
• y₁³ im Grad 3
• y₁³.y₂ im Grad 4
• u₂ im Grad 5
• u₁ im Grad 5
• y₃.u₂ im Grad 6
• y₂.u₂ im Grad 6
• y₂.u₁ im Grad 6
• y₁.u₁ im Grad 6
• y₂.y₃.u₂ im Grad 7
• y₁.y₂.u₁ im Grad 7
• y₁².u₁ im Grad 7
• y₁².y₂.u₁ im Grad 8

Eine Basis für Ann_R/(h1)(h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 8 sind.

• y₁³ im Grad 3
• y₁³.y₂ im Grad 4

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 16gp12

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung 0
• u₁ hat Einschränkung y₂.v + y₁.y₃⁴
• u₂ hat Einschränkung y₁².y₂.y₃²
• r hat Einschränkung v² + y₃⁴.v + y₂.y₃³.v + y₁.y₃⁷

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₃ + y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁
• u₁ hat Einschränkung y₂.y₃⁴ + y₁³.y₂.y₃
• u₂ hat Einschränkung y₁⁴.y₃ + y₁.v
• r hat Einschränkung y₂.y₃⁷ + y₁⁶.y₂.y₃ + y₁⁷.y₃ + v²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 16gp6

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁
• u₁ hat Einschränkung y₂².w + y₁.v
• u₂ hat Einschränkung y₁.v
• r hat Einschränkung v² + y₂⁵.w

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 16gp8

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₂
• u₁ hat Einschränkung y₁.v
• u₂ hat Einschränkung y₂.v
• r hat Einschränkung v²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu 16gp9

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₂
• u₁ hat Einschränkung y₁.v
• u₂ hat Einschränkung y₂.v
• r hat Einschränkung v²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu 16gp8

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• u₁ hat Einschränkung y₁.v
• u₂ hat Einschränkung y₂.v
• r hat Einschränkung v²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu 16gp9

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₁
• u₁ hat Einschränkung y₂.v
• u₂ hat Einschränkung y₁.v
• r hat Einschränkung v²

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₂
• u₁ hat Einschränkung 0
• u₂ hat Einschränkung y₁².y₂³ + y₁⁴.y₂
• r hat Einschränkung y₁⁴.y₂⁴ + y₁⁸

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung 0
• u₁ hat Einschränkung 0
• u₂ hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung y₁⁴.y₂⁴ + y₁⁸

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C2

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung 0
• u₁ hat Einschränkung 0
• u₂ hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung y⁸

Poincaré-Reihe

(1 + 3t + 4t² + 3t³ + t⁴ + t⁵ + 3t⁶ + 3t⁷ + t⁸) / (1 - t²) (1 - t⁸)