Kleine Gruppe Nr. 49 der Ordnung 32

G = E32+ ist die extraspezielle 2-Gruppe der Ordnung 32 vom Typ +

Nach Hall-Senior hat diese Gruppe die Nummer 42.

G hat 4 minimale Erzeugende, Rang 3 und Exponenten 4. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 15 maximalen Untergruppen sind: D8xC2 (9mal), 16gp13 (6mal).

Es gibt 6 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 3 (6mal).

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 5 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₃ im Grad 1
• y₄ im Grad 1
• v im Grad 4, ein reguläres Element

Es gibt 2 minimale Relationen:

• y₃.y₄ = y₁.y₄ + y₁.y₂
• y₁.y₂.y₄ = y₁.y₂.y₃ + y₁.y₂²

Eine minimale Gröbnerbasis für das Relationenideal besteht aus diesen minimalen Relationen, zusammen mit folgender überflüssigen Relation:

• y₁.y₂.y₃² = y₁.y₂².y₃ + y₁².y₂.y₃

Ideal essentieller Klassen: Nullideal

Nilradikal: Nullideal

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 12 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 4. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 8. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 3 und Tiefe 3. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = v im Grad 4
• h₂ = y₃² + y₂.y₄ im Grad 2
• h₃ = y₄² + y₂.y₄ + y₂² + y₁.y₃ + y₁² im Grad 2

Die ersten 3 Terme h₁, h₂, h₃ bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Der erste Term h₁ bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist das Nullideal.

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂, h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 8 sind.

• 1 im Grad 0
• y₄ im Grad 1
• y₃ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• y₂.y₄ im Grad 2
• y₂.y₃ im Grad 2
• y₂² im Grad 2
• y₁.y₄ im Grad 2
• y₁.y₃ im Grad 2
• y₁.y₂ im Grad 2
• y₁² im Grad 2
• y₂³ im Grad 3
• y₁.y₂.y₃ im Grad 3
• y₁.y₂² im Grad 3
• y₁².y₄ im Grad 3
• y₁².y₃ im Grad 3
• y₁².y₂ im Grad 3
• y₁³ im Grad 3
• y₁².y₂² im Grad 4
• y₁³.y₃ im Grad 4
• y₁³.y₂ im Grad 4
• y₁⁴ im Grad 4
• y₁⁴.y₂ im Grad 5

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₃
• y₄ hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung x² + y₂.y₃.x + y₁.y₃.x + y₃².x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₁ + y₃
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₁
• v hat Einschränkung x² + y₂.y₃.x + y₁.y₃.x + y₃².x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁ + y₃
• y₄ hat Einschränkung y₁
• v hat Einschränkung x² + y₂.y₃.x + y₁.y₃.x + y₃².x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₃
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁ + y₃
• y₄ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung x² + y₂.y₃.x + y₁.y₃.x + y₃².x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung y₁ + y₃
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₁
• v hat Einschränkung x² + y₂.y₃.x + y₁.y₃.x + y₃².x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₁
• v hat Einschränkung y₁³.y₃ + v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₃ + y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃
• v hat Einschränkung y₁³.y₃ + v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 8, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung 0
• y₄ hat Einschränkung y₁ + y₃
• v hat Einschränkung x² + y₂.y₃.x + y₁.y₃.x + y₃².x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 9, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₄ hat Einschränkung y₂ + y₁
• v hat Einschränkung y₁³.y₃ + v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 10, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁
• y₄ hat Einschränkung y₁ + y₃
• v hat Einschränkung x² + y₂.y₃.x + y₁.y₃.x + y₃².x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 11, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₃
• y₂ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₂
• v hat Einschränkung y₁³.y₃ + v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 12, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₃ + y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₄ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung y₁³.y₃ + v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 13, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁ + y₃
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung y₁
• y₄ hat Einschränkung y₁ + y₃
• v hat Einschränkung x² + y₂.y₃.x + y₁.y₃.x + y₃².x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 14, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁ + y₃
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁ + y₃
• y₄ hat Einschränkung y₂ + y₃
• v hat Einschränkung x² + y₂.y₃.x + y₁.y₃.x + y₃².x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 15, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₃
• y₄ hat Einschränkung y₂ + y₁
• v hat Einschränkung y₁³.y₃ + v

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung y₃
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₃
• y₄ hat Einschränkung y₂ + y₁
• v hat Einschränkung y₁.y₂.y₃² + y₁.y₂².y₃ + y₁².y₂.y₃ + y₁².y₂²

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung y₁.y₂.y₃² + y₁.y₂².y₃ + y₁².y₃² + y₁².y₂.y₃ + y₁².y₂² + y₁⁴

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 3, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung 0
• y₄ hat Einschränkung y₂ + y₁
• v hat Einschränkung y₁.y₂.y₃² + y₁.y₂².y₃ + y₁².y₂.y₃ + y₁².y₂²

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 4, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung y₃
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung 0
• y₄ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung y₁.y₂.y₃² + y₁.y₂².y₃ + y₁².y₃² + y₁².y₂.y₃ + y₁².y₂² + y₁⁴

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 5, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung y₃
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung y₁.y₂.y₃² + y₁.y₂².y₃ + y₁².y₃² + y₁².y₂.y₃ + y₁².y₂² + y₁⁴

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 6, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung y₃ + y₂
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₂
• v hat Einschränkung y₁.y₂.y₃² + y₁.y₂².y₃ + y₁².y₃² + y₁².y₂.y₃ + y₁².y₂² + y₁⁴

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C2

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung 0
• y₄ hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung y⁴

Poincaré-Reihe

(1 + 4t + 7t² + 7t³ + 4t⁴ + t⁵) / (1 - t²)² (1 - t⁴)