Kleine Gruppe Nr. 50 der Ordnung 32

G = E32- ist die extraspezielle 2-Gruppe der Ordnung 32 vom Typ -

Nach Hall-Senior hat diese Gruppe die Nummer 43.

G hat 4 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 4. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 15 maximalen Untergruppen sind: Q8xC2 (5mal), 16gp13 (10mal).

Es gibt 5 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 2 (5mal).

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 5 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₃ im Grad 1
• y₄ im Grad 1
• r im Grad 8, ein reguläres Element

Es gibt 3 minimale Relationen:

• y₃.y₄ = y₂² + y₁.y₄ + y₁.y₂ + y₁²
• y₂².y₄ = y₂².y₃ + y₁.y₂.y₄ + y₁.y₂.y₃ + y₁².y₄ + y₁².y₃ + y₁³
• y₁³.y₄² = y₁³.y₃² + y₁³.y₂² + y₁⁴.y₄ + y₁⁴.y₃ + y₁⁴.y₂

Eine minimale Gröbnerbasis für das Relationenideal besteht aus diesen minimalen Relationen, zusammen mit folgenden überflüssigen Relationen:

• y₂².y₃² = y₂⁴ + y₁.y₂.y₃² + y₁.y₂².y₃ + y₁².y₃² + y₁².y₂.y₃ + y₁².y₂²
• y₁³.y₃³ = 0
• y₁³.y₂⁴ = y₁⁶.y₄ + y₁⁶.y₃ + y₁⁶.y₂ + y₁⁷

Ideal essentieller Klassen: Nullideal

Nilradikal: Es gibt 4 minimale Erzeuger:

• y₂.y₄ + y₂²
• y₂.y₃ + y₂² + y₁.y₂
• y₁.y₄ + y₁²
• y₁.y₃

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 12 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 8. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 10. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 2. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = r im Grad 8
• h₂ = y₄² + y₃² + y₂.y₃ im Grad 2

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Der erste Term h₁ bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist das Nullideal.

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 10 sind.

• 1 im Grad 0
• y₄ im Grad 1
• y₃ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• y₃² im Grad 2
• y₂.y₄ im Grad 2
• y₂.y₃ im Grad 2
• y₂² im Grad 2
• y₁.y₄ im Grad 2
• y₁.y₃ im Grad 2
• y₁.y₂ im Grad 2
• y₁² im Grad 2
• y₂.y₃² im Grad 3
• y₂².y₃ im Grad 3
• y₂³ im Grad 3
• y₁.y₃² im Grad 3
• y₁.y₂.y₄ im Grad 3
• y₁.y₂.y₃ im Grad 3
• y₁.y₂² im Grad 3
• y₁².y₄ im Grad 3
• y₁².y₃ im Grad 3
• y₁².y₂ im Grad 3
• y₁³ im Grad 3
• y₂⁴ im Grad 4
• y₁.y₂.y₃² im Grad 4
• y₁.y₂².y₃ im Grad 4
• y₁.y₂³ im Grad 4
• y₁².y₃² im Grad 4
• y₁².y₂.y₄ im Grad 4
• y₁².y₂.y₃ im Grad 4
• y₁².y₂² im Grad 4
• y₁³.y₄ im Grad 4
• y₁³.y₃ im Grad 4
• y₁³.y₂ im Grad 4
• y₁⁴ im Grad 4
• y₁.y₂⁴ im Grad 5
• y₁².y₂.y₃² im Grad 5
• y₁².y₂².y₃ im Grad 5
• y₁².y₂³ im Grad 5
• y₁³.y₃² im Grad 5
• y₁³.y₂.y₄ im Grad 5
• y₁³.y₂² im Grad 5
• y₁⁴.y₄ im Grad 5
• y₁⁴.y₃ im Grad 5
• y₁⁴.y₂ im Grad 5
• y₁⁵ im Grad 5
• y₁².y₂⁴ im Grad 6
• y₁³.y₂³ im Grad 6
• y₁⁴.y₂.y₄ im Grad 6
• y₁⁴.y₂² im Grad 6
• y₁⁵.y₄ im Grad 6
• y₁⁵.y₃ im Grad 6
• y₁⁵.y₂ im Grad 6
• y₁⁶ im Grad 6
• y₁⁵.y₂.y₄ im Grad 7
• y₁⁵.y₂² im Grad 7
• y₁⁶.y₂ im Grad 7
• y₁⁷ im Grad 7
• y₁⁷.y₂ im Grad 8

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 16gp12

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₃
• y₄ hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung v² + y₃⁴.v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₃ + y₂
• y₃ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃
• r hat Einschränkung y₁⁷.y₃ + v²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₁
• r hat Einschränkung y₃⁸ + y₂.y₃⁷ + y₁⁷.y₂ + v²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃
• r hat Einschränkung y₂.y₃⁷ + y₁⁷.y₃ + v²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃
• r hat Einschränkung y₂.y₃⁷ + y₁⁶.y₂.y₃ + y₁⁷.y₃ + v²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₁
• r hat Einschränkung y₂.y₃⁷ + y₁⁷.y₃ + y₁⁷.y₂ + v²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₃ + y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃
• r hat Einschränkung y₃⁸ + y₁⁶.y₂.y₃ + y₁⁷.y₃ + v²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 8, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₃ + y₂
• y₃ hat Einschränkung 0
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₂ + y₁
• r hat Einschränkung y₁⁸ + v²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 9, isomorph zu 16gp12

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₃ + y₂
• y₃ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₁
• r hat Einschränkung v² + y₃⁴.v + y₁.y₃⁷ + y₁².y₃⁶

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 10, isomorph zu 16gp12

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₂
• r hat Einschränkung v² + y₃⁴.v + y₂.y₃⁷ + y₁.y₃⁷ + y₁.y₂.y₃⁶ + y₁².y₂.y₃⁵

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 11, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₂ + y₁
• r hat Einschränkung y₃⁸ + y₂.y₃⁷ + y₁⁷.y₂ + v²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 12, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₃ + y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₂ + y₁
• r hat Einschränkung y₃⁸ + y₂.y₃⁷ + y₁⁶.y₂.y₃ + y₁⁷.y₃ + y₁⁷.y₂ + v²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 13, isomorph zu 16gp12

• y₁ hat Einschränkung y₃ + y₂
• y₂ hat Einschränkung y₃ + y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₁
• r hat Einschränkung v² + y₃⁴.v + y₂.y₃⁷ + y₁².y₃⁶

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 14, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₃ + y₂
• y₂ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₂ + y₁
• r hat Einschränkung y₂.y₃⁷ + y₁⁶.y₂.y₃ + y₁⁷.y₂ + v²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 15, isomorph zu 16gp12

• y₁ hat Einschränkung y₃
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₁
• r hat Einschränkung v² + y₃⁴.v + y₃⁸ + y₂.y₃⁷ + y₁.y₂.y₃⁶ + y₁².y₂.y₃⁵

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung y₁⁴.y₂⁴ + y₁⁸

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₂
• r hat Einschränkung y₁⁴.y₂⁴ + y₁⁸

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 3, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung 0
• y₄ hat Einschränkung y₂ + y₁
• r hat Einschränkung y₁⁴.y₂⁴

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 4, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung 0
• y₄ hat Einschränkung y₂
• r hat Einschränkung y₁⁴.y₂⁴ + y₁⁸

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 5, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung 0
• y₄ hat Einschränkung y₂
• r hat Einschränkung y₂⁸ + y₁⁴.y₂⁴ + y₁⁸

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C2

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung 0
• y₄ hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung y⁸

Poincaré-Reihe

(1 + 4t + 8t² + 11t³ + 12t⁴ + 11t⁵ + 8t⁶ + 4t⁷ + t⁸) / (1 - t²) (1 - t⁸)