Kleine Gruppe Nr. 6 der Ordnung 32

G ist die Gruppe 32gp6

Nach Hall-Senior hat diese Gruppe die Nummer 46.

G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 3 und Exponenten 4. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 3 maximalen Untergruppen sind: D8xC2, 16gp3 (2mal).

Es gibt 2 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 3 (2mal).

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 8 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1
• x₁ im Grad 2
• x₂ im Grad 2
• x₃ im Grad 2
• w₁ im Grad 3
• w₂ im Grad 3
• v im Grad 4, ein reguläres Element

Es gibt 14 minimale Relationen:

• y₁.y₂ = 0
• y₁² = 0
• y₂.x₃ = y₁.x₁
• y₂.x₁ = y₁.x₁
• y₁.x₂ = y₁.x₁
• x₂.x₃ = x₁²
• y₂.w₂ = 0
• y₁.w₂ = 0
• y₁.w₁ = 0
• x₃.w₁ = x₁.w₂ + y₁.x₁²
• x₂.w₂ = x₁.w₁ + y₁.x₁²
• w₂² = x₁².x₃ + x₁².x₂
• w₁.w₂ = x₁.x₂² + x₁³
• w₁² = x₂³ + x₁².x₂ + y₂.x₂.w₁ + y₂².v

Eine minimale Gröbnerbasis für das Relationenideal besteht aus diesen minimalen Relationen, zusammen mit folgender überflüssigen Relation:

• y₁.x₁.x₃ = y₁.x₁²

Ideal essentieller Klassen: Nullideal

Nilradikal: Es gibt einen minimalen Erzeuger:

• y₁

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 12 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 6. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 8. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 3 und Tiefe 2. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = v im Grad 4
• h₂ = x₃ + x₂ + x₁ + y₂² im Grad 2
• h₃ = x₃ + x₂ im Grad 2

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine reguläre Folge maximaler Länge. Der letzte Term h₃ wird von der Klasse y₁.x₁ annulliert.

Der erste Term h₁ bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist das Nullideal.

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂, h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 8 sind.

• 1 im Grad 0
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• x₂ im Grad 2
• y₂² im Grad 2
• w₂ im Grad 3
• w₁ im Grad 3
• y₂.w₁ im Grad 4
• y₂².w₁ im Grad 5

Eine Basis für Ann_{R/(h1, h2)}(h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 6 sind.

• y₁.x₁ im Grad 3

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• x₁ hat Einschränkung y₁² + y₁.y₃
• x₂ hat Einschränkung y₁² + y₂.y₃ + y₃²
• x₃ hat Einschränkung y₁²
• w₁ hat Einschränkung y₂.x + y₁².y₃ + y₂.y₃² + y₃³
• w₂ hat Einschränkung y₁².y₃ + y₁.y₃²
• v hat Einschränkung x² + y₂.y₃.x + y₁.y₃.x + y₁².y₃² + y₃².x + y₁.y₃³

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 16gp3

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung x₁
• x₂ hat Einschränkung y₂²
• x₃ hat Einschränkung x₂
• w₁ hat Einschränkung y₂.x₁ + y₂³
• w₂ hat Einschränkung y₂.x₁ + y₂.x₂ + y₁.x₃
• v hat Einschränkung y₂².x₁ + x₁.x₃ + x₁.x₂ + x₃² + x₂.x₃

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 16gp3

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung x₁ + x₂
• x₂ hat Einschränkung x₂
• x₃ hat Einschränkung y₂² + x₂
• w₁ hat Einschränkung y₂.x₂ + y₁.x₃ + y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung y₂.x₁ + y₂.x₂ + y₁.x₃
• v hat Einschränkung y₂².x₁ + x₁.x₃ + y₂².x₂ + x₃² + x₂.x₃

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung y₃² + y₂.y₃
• x₂ hat Einschränkung y₃²
• x₃ hat Einschränkung y₃² + y₂²
• w₁ hat Einschränkung y₂.y₃²
• w₂ hat Einschränkung y₂.y₃² + y₂².y₃
• v hat Einschränkung y₂².y₃² + y₂³.y₃ + y₁.y₂.y₃² + y₁.y₂².y₃ + y₁².y₃² + y₁².y₂.y₃ + y₁².y₂² + y₁⁴

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung y₃² + y₂.y₃
• x₃ hat Einschränkung 0
• w₁ hat Einschränkung y₃³ + y₂².y₃ + y₁.y₂² + y₁².y₂
• w₂ hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung y₁.y₂.y₃² + y₁.y₂².y₃ + y₁².y₃² + y₁².y₂.y₃ + y₁².y₂² + y₁⁴

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C2

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung 0
• x₃ hat Einschränkung 0
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung y⁴

Poincaré-Reihe

(1 + 2t + 2t² + 2t³ + t⁴) / (1 - t²)² (1 - t⁴)