Kleine Gruppe Nr. 14 der Ordnung 81

G = E27*C9 ist das zentrale Produkt E₂₇ * C₉

G hat 3 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 9. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 13 maximalen Untergruppen sind: Ab(9,3) (4mal), E27, M27 (8mal).

Es gibt 4 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 2 (4mal).

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 7 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₃ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• x₁ im Grad 2
• x₂ im Grad 2
• v im Grad 4
• t im Grad 6, ein reguläres Element

Es gibt 9 minimale Relationen:

• y₃² = 0
• y₂² = 0
• y₁² = 0
• y₂.x₂ = y₁.x₁
• y₂.v = y₁.x₁.x₂
• y₁.v = y₁.x₁²
• x₂.v = x₁².x₂
• x₁.v = x₁.x₂²
• v² = x₁².x₂²

Eine minimale Gröbnerbasis für das Relationenideal besteht aus diesen minimalen Relationen, zusammen mit folgenden überflüssigen Relationen:

• y₁.y₂.x₁ = 0
• y₁.x₁.x₂² = y₁.x₁³
• x₁.x₂³ = x₁³.x₂

Ideal essentieller Klassen: Es gibt einen minimalen Erzeuger:

• y₁.y₂.y₃

Nilradikal: Es gibt 3 minimale Erzeuger:

• y₃
• y₂
• y₁

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 10 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 8. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 10. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 1. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = t im Grad 6
• h₂ = x₂² + x₁² im Grad 4

Der erste Term h₁ bildet eine reguläre Folge maximaler Länge. Der letzte Term h₂ wird von der Klasse y₁.y₂ annulliert.

Der erste Term h₁ bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist frei vom Rang 1 als Modul über die Polynomalgebra auf h₁. Eine Basis dieses freien Moduls ist:

• G₁ = y₁.y₂.y₃ im Grad 3

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 10 sind.

• 1 im Grad 0
• y₃ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• x₂ im Grad 2
• x₁ im Grad 2
• y₂.y₃ im Grad 2
• y₁.y₃ im Grad 2
• y₁.y₂ im Grad 2
• y₃.x₂ im Grad 3
• y₃.x₁ im Grad 3
• y₂.x₁ im Grad 3
• y₁.x₂ im Grad 3
• y₁.x₁ im Grad 3
• y₁.y₂.y₃ im Grad 3
• v im Grad 4
• x₁.x₂ im Grad 4
• x₁² im Grad 4
• y₂.y₃.x₁ im Grad 4
• y₁.y₃.x₂ im Grad 4
• y₁.y₃.x₁ im Grad 4
• y₃.v im Grad 5
• y₃.x₁.x₂ im Grad 5
• y₃.x₁² im Grad 5
• y₁.x₁.x₂ im Grad 5
• y₁.x₁² im Grad 5
• x₁².x₂ im Grad 6
• x₁³ im Grad 6
• y₁.y₃.x₁.x₂ im Grad 6
• y₁.y₃.x₁² im Grad 6
• y₃.x₁².x₂ im Grad 7
• y₃.x₁³ im Grad 7
• y₁.x₁².x₂ im Grad 7
• y₁.y₃.x₁².x₂ im Grad 8

Eine Basis für Ann_R/(h1)(h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 6 sind.

• y₁.y₂ im Grad 2
• y₁.y₂.y₃ im Grad 3

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 27gp2

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung x₁
• x₂ hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung 0
• t hat Einschränkung x₂³ - x₁².x₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 27gp2

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung x₁
• v hat Einschränkung 0
• t hat Einschränkung x₂³ - x₁².x₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 27gp2

• y₁ hat Einschränkung - y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung x₁
• x₂ hat Einschränkung - x₁
• v hat Einschränkung x₁²
• t hat Einschränkung x₂³ - x₁².x₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 27gp2

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung x₁
• x₂ hat Einschränkung x₁
• v hat Einschränkung x₁²
• t hat Einschränkung x₂³ - x₁².x₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu 27gp3

• y₁ hat Einschränkung - y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung x₄ + x₃
• x₂ hat Einschränkung - x₃
• v hat Einschränkung x₃² - x₁.x₂ - y₁.w₂ + y₁.w₁
• t hat Einschränkung x₁².x₂ - t - y₁.x₄.w₁ - y₁.x₁.w₂ + y₁.x₁.w₁

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu 27gp4

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung - y₂
• y₃ hat Einschränkung - y₁
• x₁ hat Einschränkung - x
• x₂ hat Einschränkung - y₁.y₂
• v hat Einschränkung - y₂.w
• t hat Einschränkung t + y₂.u

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu 27gp4

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung x
• x₂ hat Einschränkung - y₁.y₂
• v hat Einschränkung - y₂.w
• t hat Einschränkung - t - y₂.u

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 8, isomorph zu 27gp4

• y₁ hat Einschränkung y₂ - y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung - y₁
• x₁ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung x + y₁.y₂
• v hat Einschränkung - y₂.w
• t hat Einschränkung t + y₂.u

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 9, isomorph zu 27gp4

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung - y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung - x - y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung x - y₁.y₂
• v hat Einschränkung x² - y₂.w
• t hat Einschränkung - t - y₂.u

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 10, isomorph zu 27gp4

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung - y₁
• x₁ hat Einschränkung x - y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung x
• v hat Einschränkung x² - y₂.w
• t hat Einschränkung t + y₂.u

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 11, isomorph zu 27gp4

• y₁ hat Einschränkung - y₂ - y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung - x + y₁.y₂
• v hat Einschränkung - y₂.w
• t hat Einschränkung - t - y₂.u

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 12, isomorph zu 27gp4

• y₁ hat Einschränkung - y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung - y₂ - y₁
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung - x + y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung - x - y₁.y₂
• v hat Einschränkung x² - y₂.w
• t hat Einschränkung - t - y₂.u

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 13, isomorph zu 27gp4

• y₁ hat Einschränkung - y₂ - y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung - y₁
• x₁ hat Einschränkung x
• x₂ hat Einschränkung - x + y₁.y₂
• v hat Einschränkung x² - y₂.w
• t hat Einschränkung t + y₂.u

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V9

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung x₂
• x₂ hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung 0
• t hat Einschränkung x₁.x₂² - x₁³

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V9

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung x₂ + x₁
• v hat Einschränkung 0
• t hat Einschränkung x₁.x₂² - x₁².x₂

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 3, isomorph zu V9

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung x₂
• x₂ hat Einschränkung x₂
• v hat Einschränkung x₂²
• t hat Einschränkung x₁.x₂² - x₁³

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 4, isomorph zu V9

• y₁ hat Einschränkung - y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung x₂
• x₂ hat Einschränkung - x₂
• v hat Einschränkung x₂²
• t hat Einschränkung x₁.x₂² - x₁³

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C3

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung 0
• t hat Einschränkung - x³

Poincaré-Reihe

(1 + 3t + 5t² + 6t³ + 6t⁴ + 5t⁵ + 3t⁶ + 2t⁷ + t⁸) / (1 - t⁴) (1 - t⁶)