Kleine Gruppe Nr. 7 der Ordnung 81

G = Syl3(A9) ist die 3-Sylowgruppe von A₉

G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 3 und Exponenten 9. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 4 maximalen Untergruppen sind: E27, M27 (2mal), V27.

Es gibt 2 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 2, 3.

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 16 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• x₁ im Grad 2, ein nilpotentes Element
• x₂ im Grad 2
• x₃ im Grad 2
• w₁ im Grad 3, ein nilpotentes Element
• w₂ im Grad 3, ein nilpotentes Element
• w₃ im Grad 3, ein nilpotentes Element
• v₁ im Grad 4, ein nilpotentes Element
• v₂ im Grad 4
• u₁ im Grad 5, ein nilpotentes Element
• u₂ im Grad 5, ein nilpotentes Element
• t₁ im Grad 6, ein nilpotentes Element
• t₂ im Grad 6
• t₃ im Grad 6, ein reguläres Element
• s im Grad 7, ein nilpotentes Element

Es gibt 88 minimale Relationen:

• y₂² = 0
• y₁.y₂ = 0
• y₁² = 0
• y₂.x₃ = 0
• y₁.x₂ = 0
• y₂.x₁ = 0
• y₁.x₁ = 0
• x₂.x₃ = 0
• x₁.x₃ = 0
• x₁.x₂ = - y₂.w₁
• x₁² = 0
• y₂.w₂ = 0
• y₁.w₃ = 0
• y₁.w₁ = 0
• x₃.w₃ = 0
• x₃.w₁ = 0
• x₂.w₂ = - y₂.v₁
• y₁.v₂ = 0
• x₁.w₃ = y₂.v₁
• x₁.w₂ = 0
• x₁.w₁ = 0
• y₁.v₁ = 0
• x₃.v₂ = 0
• x₃.v₁ = 0
• x₂.v₁ = - w₁.w₃ - y₂.u₁
• x₁.v₂ = - y₂.u₁
• w₃² = 0
• w₂.w₃ = 0
• w₂² = 0
• w₁.w₂ = 0
• w₁² = 0
• x₁.v₁ = 0
• y₁.u₂ = 0
• y₁.u₁ = 0
• w₂.v₂ = - y₂.t₁
• w₁.v₂ = x₂.u₁ - y₂.t₂
• x₃.u₂ = 0
• x₃.u₁ = 0
• y₁.t₂ = 0
• w₃.v₁ = y₂.t₁
• w₂.v₁ = 0
• w₁.v₁ = 0
• x₁.u₂ = y₂.t₁
• x₁.u₁ = 0
• y₁.t₁ = 0
• x₃.t₂ = 0
• v₁.v₂ = - w₁.u₂
• x₃.t₁ = 0
• x₂.t₁ = - w₁.u₂ - y₂.s
• x₁.t₂ = y₂.w₃.v₂ - y₂.x₂.u₂ - y₂.x₂.u₁
• v₁² = 0
• w₃.u₁ = - w₁.u₂ - y₂.s - y₂.w₃.v₂ + y₂.x₂.u₂ + y₂.x₂.u₁
• w₂.u₂ = 0
• w₂.u₁ = 0
• w₁.u₁ = y₂.w₃.v₂ - y₂.x₂.u₂ - y₂.x₂.u₁
• x₁.t₁ = 0
• y₁.s = 0
• v₂.u₁ = w₃.t₂ - x₂.s - x₂.w₃.v₂ + x₂².u₂ + x₂².u₁ + y₂.v₂² - y₂.x₂.t₂
• w₂.t₂ = - y₂.w₃.u₂ + y₂.w₁.u₂
• w₁.t₂ = - x₂.w₃.v₂ + x₂².u₂ + x₂².u₁ + y₂.v₂² - y₂.x₂.t₂
• x₃.s = 0
• v₁.u₂ = 0
• v₁.u₁ = y₂.w₃.u₂ - y₂.w₁.u₂
• w₃.t₁ = y₂.w₃.u₂ - y₂.w₁.u₂
• w₂.t₁ = 0
• w₁.t₁ = - y₂.w₃.u₂ + y₂.w₁.u₂
• x₁.s = y₂.w₃.u₂ - y₂.w₁.u₂
• v₂.t₁ = - w₃.s + x₂.w₃.u₂ - x₂.w₁.u₂ - y₂.v₂.u₂
• v₁.t₂ = x₂.w₃.u₂ - x₂.w₁.u₂ - y₂.v₂.u₂
• u₂² = 0
• u₁.u₂ = w₃.s - x₂.w₃.u₂ + x₂.w₁.u₂ + y₂.v₂.u₂ - y₂.w₁.t₃
• u₁² = 0
• v₁.t₁ = 0
• w₂.s = 0
• w₁.s = - x₂.w₃.u₂ + x₂.w₁.u₂ + y₂.v₂.u₂
• u₂.t₂ = v₂.s - x₂.w₁.t₃
• u₁.t₂ = - w₃.v₂² + x₂.v₂.u₂ + x₂.w₃.t₂ - x₂².s - x₂².w₃.v₂ + x₂³.u₂ + x₂³.u₁ + y₂.v₂.t₂ + y₂.x₂.v₂² - y₂.x₂².t₂ - y₂.x₂².t₃
• u₂.t₁ = y₂.v₁.t₃
• u₁.t₁ = 0
• v₁.s = 0
• t₂² = - v₂³ - x₂.v₂.t₂ - x₂³.t₃
• t₁.t₂ = w₃.v₂.u₂ - x₂.w₃.s + x₂².w₃.u₂ - x₂².w₁.u₂ - y₂.v₂.s - y₂.x₂.v₂.u₂ + y₂.x₂.w₃.t₃ + y₂.x₂.w₁.t₃
• t₁² = 0
• u₂.s = - w₁.w₃.t₃ - y₂.u₁.t₃
• u₁.s = - w₃.v₂.u₂ + x₂.w₃.s - x₂².w₃.u₂ + x₂².w₁.u₂ + y₂.v₂.s + y₂.x₂.v₂.u₂ - y₂.x₂.w₃.t₃ - y₂.x₂.w₁.t₃
• t₂.s = - v₂².u₂ - x₂.v₂.s - x₂².w₃.t₃ - x₂².w₁.t₃ + y₂.x₂.v₂.t₃
• t₁.s = 0
• s² = 0

Eine minimale Gröbnerbasis für das Relationenideal besteht aus diesen minimalen Relationen, zusammen mit folgender überflüssigen Relation:

• w₁.w₃.u₂ = - y₂.w₃.s + y₂.x₂.w₃.u₂ - y₂.x₂.w₁.u₂

Ideal essentieller Klassen: Nullideal

Nilradikal: Es gibt 11 minimale Erzeuger:

• y₂
• y₁
• x₁
• w₃
• w₂
• w₁
• v₁
• u₂
• u₁
• t₁
• s

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 14 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 14. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 14. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 3 und Tiefe 2. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = t₃ im Grad 6
• h₂ = x₃ + x₂ im Grad 2
• h₃ = v₂ im Grad 4

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine reguläre Folge maximaler Länge. Der letzte Term h₃ wird von der Klasse y₁ annulliert.

Der erste Term h₁ bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist das Nullideal.

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂, h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 12 sind.

• 1 im Grad 0
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• x₂ im Grad 2
• x₁ im Grad 2
• w₃ im Grad 3
• w₂ im Grad 3
• w₁ im Grad 3
• v₁ im Grad 4
• y₂.w₃ im Grad 4
• y₁.w₂ im Grad 4
• u₂ im Grad 5
• u₁ im Grad 5
• y₂.v₁ im Grad 5
• t₂ im Grad 6
• t₁ im Grad 6
• y₂.u₂ im Grad 6
• s im Grad 7
• w₃.u₂ im Grad 8
• y₂.w₃.u₂ im Grad 9

Eine Basis für Ann_{R/(h1, h2)}(h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 8 sind.

• y₁ im Grad 1
• x₂ im Grad 2
• y₁.w₂ im Grad 4
• y₂.v₁ im Grad 5

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V27

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung x₁
• x₃ hat Einschränkung 0
• w₁ hat Einschränkung y₂.x₁ - y₁.x₂
• w₂ hat Einschränkung y₁.y₂.y₃
• w₃ hat Einschränkung y₃.x₁ - y₂.x₂ + y₂.x₁ + y₁.x₃ + y₁.x₂
• v₁ hat Einschränkung - y₂.y₃.x₁ + y₁.y₃.x₂ - y₁.y₂.x₃
• v₂ hat Einschränkung - x₂² - x₁.x₃ - x₁.x₂
• u₁ hat Einschränkung - y₂.x₂² - y₂.x₁.x₃ - y₂.x₁.x₂ + y₁.x₂.x₃ - y₁.x₁.x₃
• u₂ hat Einschränkung - y₃.x₂² - y₃.x₁.x₃ - y₃.x₁.x₂ + y₂.x₂.x₃ - y₂.x₁.x₃ + y₁.x₃² - y₁.x₂.x₃
• t₁ hat Einschränkung y₂.y₃.x₂² + y₂.y₃.x₁.x₃ + y₂.y₃.x₁.x₂ - y₁.y₃.x₂.x₃ + y₁.y₃.x₁.x₃ - y₁.y₂.x₃² - y₁.y₂.x₂.x₃ - y₁.y₂.x₁.x₃
• t₂ hat Einschränkung - x₂³ - x₁.x₂² - x₁².x₃
• t₃ hat Einschränkung x₃³ - x₂².x₃ + x₁.x₃² - x₁.x₂.x₃
• s hat Einschränkung - y₃.x₂³ - y₃.x₁.x₂² - y₃.x₁².x₃ + y₂.x₂².x₃ - y₂.x₁.x₃² - y₂.x₁.x₂.x₃ + y₂.x₁².x₃ + y₁.x₂.x₃² - y₁.x₂².x₃ + y₁.x₁.x₃² - y₁.x₁.x₂.x₃

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 27gp3

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung 0
• x₃ hat Einschränkung x₄
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung w₁ + y₁.x₂
• w₃ hat Einschränkung - y₂.x₃ + y₁.x₂ + y₁.x₁
• v₁ hat Einschränkung 0
• v₂ hat Einschränkung - x₃² + x₁² - y₁.w₂ + y₁.w₁
• u₁ hat Einschränkung y₂.x₃² - y₁.x₁.x₂ - y₁.x₁²
• u₂ hat Einschränkung x₃.w₂ - x₁.w₂
• t₁ hat Einschränkung y₂.x₃.w₂ - y₁.x₁.w₂
• t₂ hat Einschränkung x₃³ - x₁³
• t₃ hat Einschränkung x₁².x₂ - t - y₁.x₄.w₁ - y₁.x₁.w₂ + y₁.x₁.w₁
• s hat Einschränkung - x₃².w₂ + x₁².w₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 27gp4

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung - y₁
• x₁ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung - y₁.y₂
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung - w
• w₃ hat Einschränkung w - y₂.x
• v₁ hat Einschränkung - y₂.w
• v₂ hat Einschränkung - x² - y₂.w
• u₁ hat Einschränkung - y₂.x²
• u₂ hat Einschränkung u
• t₁ hat Einschränkung - y₂.u
• t₂ hat Einschränkung - x³
• t₃ hat Einschränkung t + y₂.u
• s hat Einschränkung x.u

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 27gp4

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung - y₁.y₂
• x₃ hat Einschränkung - y₁.y₂
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung w
• w₃ hat Einschränkung w - y₂.x
• v₁ hat Einschränkung y₂.w
• v₂ hat Einschränkung - x² - y₂.w
• u₁ hat Einschränkung y₂.x²
• u₂ hat Einschränkung - u
• t₁ hat Einschränkung - y₂.u
• t₂ hat Einschränkung x³
• t₃ hat Einschränkung - t - y₂.u
• s hat Einschränkung x.u

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V9

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung 0
• x₃ hat Einschränkung x₂
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung - y₂.x₁ + y₁.x₂
• w₃ hat Einschränkung 0
• v₁ hat Einschränkung 0
• v₂ hat Einschränkung 0
• u₁ hat Einschränkung 0
• u₂ hat Einschränkung 0
• t₁ hat Einschränkung 0
• t₂ hat Einschränkung 0
• t₃ hat Einschränkung x₁.x₂² - x₁³
• s hat Einschränkung 0

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V27

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₃
• x₁ hat Einschränkung - y₂.y₃ - y₁.y₃
• x₂ hat Einschränkung x₃
• x₃ hat Einschränkung 0
• w₁ hat Einschränkung y₃.x₂ + y₃.x₁ - y₂.x₃ - y₁.x₃
• w₂ hat Einschränkung y₁.y₂.y₃
• w₃ hat Einschränkung y₃.x₁ - y₂.x₂ - y₂.x₁ + y₁.x₃ - y₁.x₂ - y₁.x₁
• v₁ hat Einschränkung - y₂.y₃.x₁ + y₁.y₃.x₂ - y₁.y₂.x₃
• v₂ hat Einschränkung - x₂² - x₁.x₃ + x₁.x₂ - x₁²
• u₁ hat Einschränkung - y₃.x₂.x₃ - y₃.x₂² + y₃.x₁.x₃ + y₃.x₁² + y₂.x₂² + y₂.x₁.x₃ - y₂.x₁.x₂ + y₂.x₁² + y₁.x₂² + y₁.x₁.x₃ - y₁.x₁.x₂ + y₁.x₁²
• u₂ hat Einschränkung - y₃.x₂² + y₃.x₁.x₂ + y₂.x₂.x₃ + y₂.x₁.x₃ + y₂.x₁.x₂ + y₂.x₁² + y₁.x₂.x₃ - y₁.x₂² - y₁.x₁.x₂
• t₁ hat Einschränkung y₂.y₃.x₂.x₃ - y₂.y₃.x₂² - y₂.y₃.x₁.x₃ - y₂.y₃.x₁.x₂ - y₂.y₃.x₁² + y₁.y₃.x₂² - y₁.y₃.x₁.x₂ + y₁.y₂.x₂² + y₁.y₂.x₁.x₃ - y₁.y₂.x₁.x₂ + y₁.y₂.x₁²
• t₂ hat Einschränkung - x₂.x₃² - x₂².x₃ + x₂³ + x₁.x₃² + x₁.x₂.x₃ - x₁².x₃ + x₁³
• t₃ hat Einschränkung - x₂².x₃ + x₁.x₂.x₃ - x₁.x₂² + x₁².x₂
• s hat Einschränkung - y₃.x₂².x₃ + y₃.x₂³ + y₃.x₁.x₂.x₃ - y₃.x₁².x₂ + y₂.x₂.x₃² - y₂.x₂².x₃ - y₂.x₁.x₃² - y₂.x₁.x₂.x₃ - y₂.x₁.x₂² + y₂.x₁².x₃ + y₂.x₁².x₂ - y₂.x₁³ + y₁.x₂².x₃ + y₁.x₂³ - y₁.x₁.x₂² + y₁.x₁².x₂

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C3

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung 0
• x₃ hat Einschränkung 0
• w₁ hat Einschränkung 0
• w₂ hat Einschränkung 0
• w₃ hat Einschränkung 0
• v₁ hat Einschränkung 0
• v₂ hat Einschränkung 0
• u₁ hat Einschränkung 0
• u₂ hat Einschränkung 0
• t₁ hat Einschränkung 0
• t₂ hat Einschränkung 0
• t₃ hat Einschränkung x³
• s hat Einschränkung 0

Poincaré-Reihe

(1 + 2t + 2t² + 3t³ + 3t⁴ + 2t⁵ + 2t⁶ + t⁷) / (1 - t²) (1 - t⁴) (1 - t⁶)