Kleine Gruppe Nr. 8 der Ordnung 81

G ist die Gruppe 81gp8

G hat 2 minimale Erzeugende, Rang 2 und Exponenten 9. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 4 maximalen Untergruppen sind: Ab(9,3), E27, M27 (2mal).

Es gibt 2 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 2 (2mal).

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur | Informationen zur Vollständigkeit | Koszul-Informationen | Einschränkungen auf Untergruppen | Poincaré-Reihe

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 13 Erzeuger:

y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
y₂ im Grad 1, ein nilpotentes Element
x₁ im Grad 2, ein nilpotentes Element
x₂ im Grad 2, ein nilpotentes Element
x₃ im Grad 2
w im Grad 3, ein nilpotentes Element
v₁ im Grad 4, ein nilpotentes Element
v₂ im Grad 4
u₁ im Grad 5, ein nilpotentes Element
u₂ im Grad 5, ein nilpotentes Element
t₁ im Grad 6
t₂ im Grad 6, ein reguläres Element
s im Grad 7, ein nilpotentes Element

Es gibt 65 minimale Relationen:

y₂² = 0
y₁.y₂ = 0
y₁² = 0
y₂.x₃ = 0
y₂.x₂ = 0
y₂.x₁ = y₁.x₂
y₁.x₁ = 0
x₂.x₃ = 0
x₁.x₃ = 0
x₂² = 0
x₁.x₂ = 0
x₁² = 0
y₂.w = 0
y₁.w = 0
x₃.w = 0
y₁.v₂ = 0
x₂.w = 0
x₁.w = 0
y₂.v₁ = 0
y₁.v₁ = 0
x₃.v₂ = y₁.u₁
x₃.v₁ = - y₁.u₁
x₂.v₂ = y₂.u₂
x₁.v₂ = 0
w² = 0
x₂.v₁ = 0
x₁.v₁ = 0
y₂.u₁ = 0
y₁.u₂ = y₁.u₁
w.v₂ = - y₂.t₁
x₃.u₂ = x₃.u₁
y₁.t₁ = 0
w.v₁ = 0
x₂.u₂ = 0
x₂.u₁ = 0
x₁.u₂ = 0
x₁.u₁ = 0
x₃.t₁ = - y₁.x₃.u₁
v₁.v₂ = y₂.s
x₂.t₁ = y₂.s
x₁.t₁ = 0
v₁² = 0
w.u₂ = - y₂.s
w.u₁ = 0
y₁.s = y₁.x₃.u₁
v₂.u₁ = y₂.v₂²
w.t₁ = y₂.v₂²
x₃.s = x₃².u₁ - y₁.x₃.t₂
v₁.u₂ = 0
v₁.u₁ = 0
x₂.s = - y₁.x₂.t₂
x₁.s = y₁.x₂.t₂
v₁.t₁ = - y₂.v₂.u₂
u₂² = 0
u₁.u₂ = y₂.v₂.u₂
u₁² = 0
w.s = y₂.v₂.u₂
u₂.t₁ = v₂.s - y₂.v₂.t₂
u₁.t₁ = y₂.v₂.t₁
v₁.s = 0
t₁² = - v₂³
u₂.s = - y₂.u₂.t₂ + y₁.u₁.t₂
u₁.s = y₂.v₂.s + y₁.u₁.t₂
t₁.s = - v₂².u₂ + y₂.t₁.t₂
s² = 0

Diese minimalen Relationen bilden eine Gröbnerbasis für das Relationenideal.

Ideal essentieller Klassen: Es gibt einen minimalen Erzeuger:

y₁.x₂

Nilradikal: Es gibt 9 minimale Erzeuger:

y₂
y₁
x₂
x₁
w
v₁
u₂
u₁
s

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 14 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 14. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 14. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 2 und Tiefe 1. Ein homogenes Parametersystem ist

h₁ = t₂ im Grad 6
h₂ = v₂ + x₃² im Grad 4

Der erste Term h₁ bildet eine reguläre Folge maximaler Länge. Der letzte Term h₂ wird von der Klasse x₁ annulliert.

Der erste Term h₁ bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist frei vom Rang 1 als Modul über die Polynomalgebra auf h₁. Eine Basis dieses freien Moduls ist: