Kleine Gruppe Nr. 31 der Ordnung 32

G ist die Gruppe 32gp31

Nach Hall-Senior hat diese Gruppe die Nummer 39.

G hat 3 minimale Erzeugende, Rang 3 und Exponenten 4. Das Zentrum hat Rang 2.

Die 7 maximalen Untergruppen sind: D8xC2, Q8xC2, Ab(4,4), 16gp3 (4mal).

Es gibt 2 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 3 (2mal).

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 6 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1
• y₃ im Grad 1
• x im Grad 2, ein reguläres Element
• w im Grad 3
• v im Grad 4, ein reguläres Element

Es gibt 5 minimale Relationen:

• y₂.y₃ = y₂² + y₁²
• y₁.y₃ = y₁²
• y₁³ = 0
• y₁.w = y₁.y₂.x
• w² = y₂³.w + y₃².v + y₃⁴.x + y₂⁴.x + y₃².x² + y₂².x² + y₁².v + y₁².x²

Eine minimale Gröbnerbasis für das Relationenideal besteht aus diesen minimalen Relationen, zusammen mit folgender überflüssigen Relation:

• y₁.y₂² = y₁².y₂ + y₁³

Ideal essentieller Klassen: Nullideal

Nilradikal: Es gibt einen minimalen Erzeuger:

• y₁

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 12 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 6. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 8. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 3 und Tiefe 2. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = x im Grad 2
• h₂ = v im Grad 4
• h₃ = y₃² im Grad 2

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine reguläre Folge maximaler Länge. Der letzte Term h₃ wird von der Klasse y₁ annulliert.

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, ihre Einschränkungen auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist das Nullideal.

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂, h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 8 sind.

• 1 im Grad 0
• y₃ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• y₂² im Grad 2
• y₁.y₂ im Grad 2
• y₁² im Grad 2
• w im Grad 3
• y₁².y₂ im Grad 3
• y₃.w im Grad 4
• y₂.w im Grad 4
• y₂².w im Grad 5

Eine Basis für Ann_{R/(h1, h2)}(h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 6 sind.

• y₁ im Grad 1
• y₁.y₂ im Grad 2
• y₁² im Grad 2
• y₁².y₂ im Grad 3

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 16gp2

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung 0
• x hat Einschränkung x₂ + x₁
• w hat Einschränkung y₂.x₁ + y₁.x₂
• v hat Einschränkung x₂² + y₁.y₂.x₂

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 16gp3

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• x hat Einschränkung x₁ + x₃ + x₂
• w hat Einschränkung y₂.x₁ + y₂.x₂ + y₁.x₃
• v hat Einschränkung y₂².x₁ + y₂².x₃ + y₂².x₂ + x₃²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 16gp3

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• x hat Einschränkung x₃
• w hat Einschränkung y₂.x₁ + y₂³ + y₂.x₃ + y₂.x₂
• v hat Einschränkung y₂².x₁ + y₂².x₃ + x₃² + x₂²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 16gp3

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• x hat Einschränkung x₃
• w hat Einschränkung y₂.x₁ + y₂.x₃ + y₂.x₂
• v hat Einschränkung y₂².x₃ + y₂².x₂ + x₂²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu 16gp3

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• x hat Einschränkung x₃
• w hat Einschränkung y₂.x₁ + y₂³ + y₂.x₂ + y₁.x₃
• v hat Einschränkung y₂².x₁ + x₂²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• x hat Einschränkung y₂.y₃ + y₁.y₃ + y₃²
• w hat Einschränkung y₁³ + y₂.x + y₁.x + y₁².y₃ + y₁.y₃²
• v hat Einschränkung y₂³.y₃ + y₁².x + y₁³.y₃ + x² + y₃⁴

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu 16gp12

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• x hat Einschränkung y₃² + y₂.y₃
• w hat Einschränkung y₂.y₃² + y₁.y₃² + y₁.y₂.y₃
• v hat Einschränkung v + y₁.y₂.y₃²

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₃ + y₂ + y₁
• x hat Einschränkung y₂.y₃ + y₁.y₃
• w hat Einschränkung y₂.y₃² + y₂².y₃ + y₁.y₂² + y₁².y₂
• v hat Einschränkung y₂.y₃³ + y₂³.y₃ + y₁.y₃³ + y₁.y₂².y₃ + y₁².y₃² + y₁².y₂.y₃ + y₁².y₂² + y₁³.y₃

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung y₃
• x hat Einschränkung y₂.y₃ + y₂² + y₁.y₃ + y₁²
• w hat Einschränkung y₃³ + y₂.y₃² + y₂².y₃
• v hat Einschränkung y₂.y₃³ + y₂⁴

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung 0
• x hat Einschränkung y₁²
• w hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung y₂⁴

Poincaré-Reihe

(1 + 3t + 3t² + t³) / (1 - t²)² (1 - t⁴)