Kleine Gruppe Nr. 48 der Ordnung 32

G ist die Gruppe 32gp48

Nach Hall-Senior hat diese Gruppe die Nummer 10.

G hat 4 minimale Erzeugende, Rang 3 und Exponenten 4. Das Zentrum hat Rang 2.

Die 15 maximalen Untergruppen sind: Ab(4,2,2) (3mal), D8xC2 (3mal), Q8xC2, 16gp13 (8mal).

Es gibt 3 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 3 (3mal).

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 5 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₃ im Grad 1
• y₄ im Grad 1, ein reguläres Element
• v im Grad 4, ein reguläres Element

Es gibt 2 minimale Relationen:

• y₂.y₃ = y₁²
• y₁².y₃ = y₁².y₂

Eine minimale Gröbnerbasis für das Relationenideal besteht aus diesen minimalen Relationen, zusammen mit folgender überflüssigen Relation:

• y₁².y₂² = y₁⁴

Ideal essentieller Klassen: Nullideal

Nilradikal: Es gibt 2 minimale Erzeuger:

• y₁.y₃ + y₁²
• y₁.y₂ + y₁²

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 12 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 4. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 8. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 3 und Tiefe 3. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = y₄ im Grad 1
• h₂ = v im Grad 4
• h₃ = y₃² + y₂² + y₁.y₃ im Grad 2

Die ersten 3 Terme h₁, h₂, h₃ bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Die ersten 2 Terme h₁, h₂ bilden eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, ihre Einschränkungen auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bilden eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist das Nullideal.

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂, h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 7 sind.

• 1 im Grad 0
• y₃ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• y₂² im Grad 2
• y₁.y₃ im Grad 2
• y₁.y₂ im Grad 2
• y₁² im Grad 2
• y₁.y₂² im Grad 3
• y₁².y₂ im Grad 3
• y₁³ im Grad 3
• y₁⁴ im Grad 4

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 16gp10

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung 0
• y₄ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung x² + y₃².x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 16gp10

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₃
• y₄ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung x² + y₃².x

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 16gp10

• y₁ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung y₃
• y₄ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung x² + y₃².x + y₃⁴

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₃
• v hat Einschränkung x²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂
• y₄ hat Einschränkung y₂ + y₁ + y₃
• v hat Einschränkung y₂⁴ + x² + y₂².y₃² + y₁².y₃² + y₃⁴

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu 16gp11

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₄ hat Einschränkung y₁ + y₃
• v hat Einschränkung y₁⁴ + x² + y₂².y₃² + y₁².y₃² + y₃⁴

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu 16gp12

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃
• v hat Einschränkung v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 8, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₃
• y₄ hat Einschränkung 0
• v hat Einschränkung v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 9, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₃
• y₄ hat Einschränkung y₃
• v hat Einschränkung v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 10, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₂ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₁
• v hat Einschränkung y₁⁴ + v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 11, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₁
• v hat Einschränkung v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 12, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₃
• y₄ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 13, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung y₁
• y₄ hat Einschränkung y₂ + y₁
• v hat Einschränkung v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 14, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₂
• v hat Einschränkung v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 15, isomorph zu 16gp13

• y₁ hat Einschränkung y₂
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₃
• y₄ hat Einschränkung y₃ + y₂ + y₁
• v hat Einschränkung v

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₄ hat Einschränkung y₃
• v hat Einschränkung y₁².y₂²

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung 0
• y₄ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung y₁².y₃² + y₁⁴

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 3, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung y₃
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung y₃
• y₄ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung y₃⁴ + y₁².y₃² + y₁⁴

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu V4

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung 0
• y₄ hat Einschränkung y₂
• v hat Einschränkung y₁⁴

Poincaré-Reihe

(1 + 3t + 4t² + 3t³ + t⁴) / (1 - t) (1 - t²) (1 - t⁴)