Kleine Gruppe Nr. 136 der Ordnung 64

G ist die Gruppe 64gp136

Nach Hall-Senior hat diese Gruppe die Nummer 262.

G hat 3 minimale Erzeugende, Rang 3 und Exponenten 8. Das Zentrum hat Rang 1.

Die 7 maximalen Untergruppen sind: 32gp11 (2mal), 32gp31, 32gp44 (2mal), E32+, 32gp7.

Es gibt 4 Konjugationsklassen maximaler elementar-abelscher Untergruppen. Sie sind vom Rang 3 (4mal).

Dieser Kohomologiering ist vollständig berechnet.

Ringstruktur

Der Kohomologiering hat 10 Erzeuger:

• y₁ im Grad 1, ein nilpotentes Element
• y₂ im Grad 1
• y₃ im Grad 1
• x₁ im Grad 2
• x₂ im Grad 2
• u₁ im Grad 5
• u₂ im Grad 5
• u₃ im Grad 5
• t im Grad 6
• r im Grad 8, ein reguläres Element

Es gibt 27 minimale Relationen:

• y₁.y₃ = 0
• y₁.y₂ = 0
• y₃.x₁ = y₁³
• y₁.x₂ = 0
• x₂² = y₂.y₃.x₂ + y₂².x₂
• y₁³.x₁ = 0
• x₁².x₂ = y₂.u₂
• y₃.u₂ = 0
• y₃.u₁ = y₂.u₃
• y₁.u₃ = 0
• y₁.u₁ = 0
• x₂.u₃ = y₃.t + y₃².u₃ + y₂.y₃.u₃
• x₂.u₂ = y₂².u₂
• x₂.u₁ = y₂.t + y₂.y₃.u₃ + y₂².u₃ + y₂³.x₁.x₂
• x₁.u₃ = y₁².u₂
• y₁.t = y₁².u₂
• x₂.t = y₃².t + y₃³.u₃ + y₂.y₃².u₃ + y₂².t + y₂².y₃.u₃ + y₂³.u₃
• u₃² = y₂.y₃⁴.u₃ + y₂².y₃³.u₃ + y₂⁴.y₃.u₃ + y₃².r
• u₂.u₃ = 0
• u₂² = y₂.x₁².u₂ + y₁.x₁².u₂ + y₁².r
• u₁.u₃ = y₂².y₃³.u₃ + y₂³.y₃².u₃ + y₂⁵.u₃ + y₂.y₃.r
• u₁.u₂ = x₁².t + y₂³.x₁.u₂ + y₁.x₁².u₂
• u₁² = y₂².x₁.t + y₂².x₁⁴ + y₂³.x₁.u₂ + y₂³.y₃².u₃ + y₂⁴.y₃.u₃ + y₂⁵.u₁ + y₂⁶.x₁.x₂ + y₂².r
• u₃.t = y₂.y₃⁴.t + y₂².y₃³.t + y₂⁴.y₃.t + y₃.x₂.r + y₃³.r + y₂.y₃².r
• u₂.t = y₂.x₁².t + y₁².x₁².u₂ + y₁³.r
• u₁.t = y₂².x₁².u₂ + y₂².y₃³.t + y₂³.y₃².t + y₂⁴.x₁.u₂ + y₂⁵.t + y₂⁶.u₂ + y₂.x₂.r + y₂.y₃².r + y₂².y₃.r
• t² = y₂.y₃⁶.u₃ + y₂².y₃⁴.t + y₂³.x₁².u₂ + y₂⁴.x₁.t + y₂⁴.y₃².t + y₂⁴.y₃³.u₃ + y₂⁵.x₁.u₂ + y₂⁵.y₃.t + y₂⁶.t + y₂⁶.y₃.u₃ + y₂⁷.u₃ + y₂⁷.u₂ + y₃⁴.r + y₂.y₃.x₂.r + y₂².x₂.r + y₂².y₃².r

Eine minimale Gröbnerbasis für das Relationenideal besteht aus diesen minimalen Relationen, zusammen mit folgenden überflüssigen Relationen:

• y₁⁴ = 0
• y₁³.u₂ = 0

Ideal essentieller Klassen: Nullideal

Nilradikal: Es gibt einen minimalen Erzeuger:

• y₁

Informationen zur Vollständigkeit

Dieser Kohomologiering wurde mittels einer Berechnung bis zum Grad 16 ermittlet. Die Präsentierung des Kohomologierings ist ab dem 12. Grad stabil. Carlsons Kriterium stellt Stabilität ab dem 12. Grad fest.

Dieser Kohomologiering hat Dimension 3 und Tiefe 1. Ein homogenes Parametersystem ist

• h₁ = r im Grad 8
• h₂ = y₂² im Grad 2
• h₃ = x₁ + y₃² im Grad 2

Der erste Term h₁ bildet eine reguläre Folge maximaler Länge. Die restlichen 2 Terme h₂, h₃ werden alle von der Klasse y₁³ annulliert.

Der erste Term h₁ bildet eine vollständige Duflot-reguläre Folge. Daß heißt, seine Einschränkung auf die größte zentrale elelementar-abelsche Untergruppe bildet eine reguläre Folge maximaler Länge.

Das Ideal essentieller Klassen ist das Nullideal.

Koszul-Informationen

Eine Basis für R/(h₁, h₂, h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 12 sind.

• 1 im Grad 0
• y₃ im Grad 1
• y₂ im Grad 1
• y₁ im Grad 1
• x₂ im Grad 2
• y₃² im Grad 2
• y₂.y₃ im Grad 2
• y₁² im Grad 2
• y₃.x₂ im Grad 3
• y₂.x₂ im Grad 3
• y₂.y₃² im Grad 3
• y₁³ im Grad 3
• y₃².x₂ im Grad 4
• y₂.y₃.x₂ im Grad 4
• u₃ im Grad 5
• u₂ im Grad 5
• u₁ im Grad 5
• y₂.y₃².x₂ im Grad 5
• t im Grad 6
• y₃.u₃ im Grad 6
• y₂.u₃ im Grad 6
• y₂.u₁ im Grad 6
• y₁.u₂ im Grad 6
• y₃.t im Grad 7
• y₂.t im Grad 7
• y₂.y₃.u₃ im Grad 7
• y₁².u₂ im Grad 7
• y₃².t im Grad 8
• y₂.y₃.t im Grad 8
• y₂.y₃².t im Grad 9

Eine Basis für Ann_{R/(h1, h2)}(h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 10 sind.

• y₁³ im Grad 3
• y₂.x₁.x₂ im Grad 5

Eine Basis für Ann_R/(h1)(h₂, h₃) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 8 sind.

• y₁³ im Grad 3

Eine Basis für Ann_R/(h1)(h₂) / h₃ Ann_R/(h1)(h₂) ist wie folgt. Carlsons Koszul-Bedingung fordert, daß alle Basiselemente vom Grad kleiner als 10 sind.

• y₁ im Grad 1
• y₁² im Grad 2
• y₁³ im Grad 3
• y₁.u₂ im Grad 6
• y₁².u₂ im Grad 7

Einschränkungen auf Untergruppen

• Einschränkungen auf maximale Untergruppen
• Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen
• Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkungen auf maximale Untergruppen

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 1, isomorph zu 32gp49

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₄ + y₃ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung y₂.y₄ + y₂.y₃ + y₂²
• x₂ hat Einschränkung y₃² + y₁.y₃
• u₁ hat Einschränkung y₃⁵ + y₂.y₃⁴ + y₂².y₃³ + y₁².y₂².y₃ + y₁⁴.y₃ + y₄.v + y₃.v + y₁.v
• u₂ hat Einschränkung y₂².y₃³ + y₂⁴.y₃ + y₁².y₂².y₃
• u₃ hat Einschränkung y₁.y₃⁴ + y₁².y₃³ + y₁³.y₃² + y₁³.y₂.y₃ + y₁⁴.y₃ + y₁.v
• t hat Einschränkung y₃⁶ + y₁.y₃⁵ + y₁².y₃⁴ + y₁³.y₃³ + y₃².v + y₁.y₄.v
• r hat Einschränkung y₂.y₃⁷ + y₂³.y₃⁵ + y₂⁴.y₄⁴ + y₂⁴.y₃⁴ + y₂⁵.y₃³ + y₂⁶.y₃² + y₂⁸ + y₁.y₃⁷ + y₁.y₂⁶.y₃ + y₁².y₃⁶ + y₁².y₂⁵.y₃ + y₁³.y₃⁵ + y₁⁴.y₂³.y₃ + y₁⁵.y₃³ + y₁⁶.y₃² + y₁⁷.y₃ + y₄⁴.v + y₃⁴.v + y₂.y₃³.v + y₂².y₃².v + y₁.y₂².y₃.v + y₁².y₄².v + y₁².y₃².v + y₁².y₂.y₃.v + y₁³.y₄.v + y₁³.y₃.v + y₁⁴.v + v²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 2, isomorph zu 32gp31

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₃ + y₁
• y₃ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung x
• x₂ hat Einschränkung y₃² + y₂² + y₁.y₂
• u₁ hat Einschränkung y₃⁵ + y₂².w + x.w + y₃.v + y₂³.x + y₃.x² + y₂.x² + y₁.v + y₁.x²
• u₂ hat Einschränkung y₃.x² + y₂.x² + y₁.v
• u₃ hat Einschränkung y₁².y₂.x
• t hat Einschränkung y₃⁶ + y₂⁶ + y₃.x.w + y₃².v + y₃⁴.x + y₂.x.w + y₂².v + y₂⁴.x + y₃².x² + y₂².x² + y₁.y₂.v + y₁².v
• r hat Einschränkung y₃³.x.w + y₃⁴.v + y₂⁴.v + y₂⁶.x + v² + y₃.x².w + y₃².x.v + y₂².x.v + y₂⁴.x² + x².v + y₃².x³ + y₂².x³ + x⁴ + y₁.y₂.x.v + y₁.y₂.x³ + y₁².x.v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 3, isomorph zu 32gp7

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂ + y₁
• y₃ hat Einschränkung y₁
• x₁ hat Einschränkung x₁
• x₂ hat Einschränkung x₂ + y₂²
• u₁ hat Einschränkung y₂.v₁ + y₂.x₁² + y₂³.x₁ + y₂⁵ + y₂.v₂ + y₁.v₂
• u₂ hat Einschränkung x₁.w₂ + y₂.x₁² + y₁.v₂
• u₃ hat Einschränkung y₁.v₂
• t hat Einschränkung y₂⁴.x₂ + y₂⁶ + x₂.v₂ + y₂².v₂
• r hat Einschränkung x₁⁴ + y₂².x₁.v₁ + y₂⁴.x₁² + y₂⁶.x₁ + y₂.w₂.v₂ + y₂².x₂.v₂ + y₂².x₁.v₂ + y₂⁴.v₂ + v₂²

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 4, isomorph zu 32gp44

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung y₃
• x₁ hat Einschränkung y₂² + y₁.y₂
• x₂ hat Einschränkung y₂.y₃
• u₁ hat Einschränkung y₁².y₂³
• u₂ hat Einschränkung u₁ + y₁.y₂⁴
• u₃ hat Einschränkung u₂
• t hat Einschränkung y₃.u₂ + y₂.u₂ + y₁.u₁ + y₁².y₂⁴
• r hat Einschränkung y₂⁸ + r + y₂³.u₁ + y₁².y₂⁶ + y₁².y₂.u₁

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 5, isomorph zu 32gp11

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₁
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• x₁ hat Einschränkung x₂
• x₂ hat Einschränkung x₁
• u₁ hat Einschränkung y₁.v
• u₂ hat Einschränkung x₂.w + y₁.x₂² + y₁.v
• u₃ hat Einschränkung y₂.v + y₁.v
• t hat Einschränkung y₂².v + x₁.v + y₁.x₂.w
• r hat Einschränkung x₂⁴ + v² + y₁.x₂².w + y₁.w.v

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 6, isomorph zu 32gp44

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₃
• y₃ hat Einschränkung y₃
• x₁ hat Einschränkung y₂² + y₁.y₂ + y₁²
• x₂ hat Einschränkung y₂.y₃
• u₁ hat Einschränkung u₂ + y₂.y₃⁴ + y₁².y₂³
• u₂ hat Einschränkung u₁
• u₃ hat Einschränkung u₂ + y₂.y₃⁴
• t hat Einschränkung y₂.u₂ + y₁.u₁
• r hat Einschränkung y₃³.u₂ + y₂.y₃⁷ + y₂⁸ + r + y₂³.u₁ + y₁².y₂⁶ + y₁².y₂.u₁

Einschränkung auf maximale Untergruppe Nr. 7, isomorph zu 32gp11

• y₁ hat Einschränkung y₁
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₂ + y₁
• x₁ hat Einschränkung x₂
• x₂ hat Einschränkung x₁
• u₁ hat Einschränkung y₂.v + y₂³.x₁
• u₂ hat Einschränkung x₂.w + y₁.x₂² + y₁.v
• u₃ hat Einschränkung y₂.v + y₂³.x₁ + y₁.v
• t hat Einschränkung x₁.v + y₁.x₂.w
• r hat Einschränkung x₂⁴ + y₂⁴.v + v² + y₂⁶.x₁ + y₁.x₂².w + y₁.w.v

Einschränkungen auf maximale elementar-abelsche Untergruppen

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 1, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung y₃² + y₂.y₃
• x₂ hat Einschränkung y₂²
• u₁ hat Einschränkung y₂³.y₃² + y₂⁴.y₃ + y₂⁵ + y₁.y₂².y₃² + y₁.y₂³.y₃ + y₁².y₂.y₃² + y₁².y₂².y₃ + y₁².y₂³ + y₁⁴.y₂
• u₂ hat Einschränkung y₂.y₃⁴ + y₂³.y₃²
• u₃ hat Einschränkung 0
• t hat Einschränkung y₂⁶ + y₁.y₂³.y₃² + y₁.y₂⁴.y₃ + y₁².y₂².y₃² + y₁².y₂³.y₃ + y₁².y₂⁴ + y₁⁴.y₂²
• r hat Einschränkung y₃⁸ + y₂².y₃⁶ + y₂³.y₃⁵ + y₂⁴.y₃⁴ + y₂⁵.y₃³ + y₂⁷.y₃ + y₁.y₂³.y₃⁴ + y₁.y₂⁶.y₃ + y₁².y₂⁶ + y₁⁴.y₃⁴ + y₁⁴.y₂³.y₃ + y₁⁸

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 2, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung y₃² + y₂.y₃
• x₂ hat Einschränkung 0
• u₁ hat Einschränkung y₁.y₂².y₃² + y₁.y₂³.y₃ + y₁².y₂.y₃² + y₁².y₂².y₃ + y₁².y₂³ + y₁⁴.y₂
• u₂ hat Einschränkung 0
• u₃ hat Einschränkung 0
• t hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung y₃⁸ + y₂⁴.y₃⁴ + y₁.y₂⁵.y₃² + y₁.y₂⁶.y₃ + y₁².y₂².y₃⁴ + y₁².y₂⁵.y₃ + y₁².y₂⁶ + y₁⁴.y₃⁴ + y₁⁴.y₂².y₃² + y₁⁸

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 3, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₃
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung 0
• u₁ hat Einschränkung y₁.y₂².y₃² + y₁.y₂³.y₃ + y₁².y₂.y₃² + y₁².y₂².y₃ + y₁².y₂³ + y₁⁴.y₂
• u₂ hat Einschränkung 0
• u₃ hat Einschränkung y₁.y₂.y₃³ + y₁.y₂².y₃² + y₁².y₃³ + y₁².y₂.y₃² + y₁².y₂².y₃ + y₁⁴.y₃
• t hat Einschränkung y₁.y₂.y₃⁴ + y₁.y₂³.y₃² + y₁².y₃⁴ + y₁².y₂³.y₃ + y₁⁴.y₃² + y₁⁴.y₂.y₃
• r hat Einschränkung y₁.y₂².y₃⁵ + y₁.y₂⁴.y₃³ + y₁.y₂⁵.y₃² + y₁.y₂⁶.y₃ + y₁².y₂.y₃⁵ + y₁².y₂².y₃⁴ + y₁².y₂⁴.y₃² + y₁².y₂⁵.y₃ + y₁².y₂⁶ + y₁⁴.y₃⁴ + y₁⁴.y₂.y₃³ + y₁⁸

Einschränkung auf maximale elementar-abelsche Untergruppe Nr. 4, isomorph zu V8

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung y₂
• y₃ hat Einschränkung y₃
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung y₂.y₃ + y₂²
• u₁ hat Einschränkung y₂⁴.y₃ + y₂⁵ + y₁.y₂².y₃² + y₁.y₂³.y₃ + y₁².y₂.y₃² + y₁².y₂².y₃ + y₁².y₂³ + y₁⁴.y₂
• u₂ hat Einschränkung 0
• u₃ hat Einschränkung y₂³.y₃² + y₂⁴.y₃ + y₁.y₂.y₃³ + y₁.y₂².y₃² + y₁².y₃³ + y₁².y₂.y₃² + y₁².y₂².y₃ + y₁⁴.y₃
• t hat Einschränkung y₂³.y₃³ + y₂⁴.y₃² + y₂⁵.y₃ + y₂⁶ + y₁.y₂.y₃⁴ + y₁.y₂².y₃³ + y₁.y₂³.y₃² + y₁.y₂⁴.y₃ + y₁².y₃⁴ + y₁².y₂.y₃³ + y₁².y₂³.y₃ + y₁².y₂⁴ + y₁⁴.y₃² + y₁⁴.y₂²
• r hat Einschränkung y₂⁴.y₃⁴ + y₂⁷.y₃ + y₁.y₂².y₃⁵ + y₁.y₂⁴.y₃³ + y₁.y₂⁵.y₃² + y₁.y₂⁶.y₃ + y₁².y₂.y₃⁵ + y₁².y₂².y₃⁴ + y₁².y₂⁴.y₃² + y₁².y₂⁵.y₃ + y₁².y₂⁶ + y₁⁴.y₃⁴ + y₁⁴.y₂.y₃³ + y₁⁸

Einschränkung auf die größte zentrale elementar-abelsche Untergruppe

Einschränkung auf der größten zentralen elementar-abelschen Untergruppe, isomorph zu C2

• y₁ hat Einschränkung 0
• y₂ hat Einschränkung 0
• y₃ hat Einschränkung 0
• x₁ hat Einschränkung 0
• x₂ hat Einschränkung 0
• u₁ hat Einschränkung 0
• u₂ hat Einschränkung 0
• u₃ hat Einschränkung 0
• t hat Einschränkung 0
• r hat Einschränkung y⁸

Poincaré-Reihe

(1 + 3t + 4t² + 3t³ + t⁴ + 2t⁵ + 5t⁶ + 4t⁷ + t⁸) / (1 - t²)² (1 - t⁸)