Metrische
Geometrie (Mathe-Bachelor; Eventuell auch Mathe-Diplom; Mathe-Lehramt)
Dozent: Prof.
Dr. Vladimir Matveev . Vorlesungen: Di 16:00-18:00 Mi
16:00-18:00 (CZS 3, SR 130).
Übungsleiter: Dr. Marcus Quaschner. Übungen: Do 12:00-14:00.
Die
Vorlesung wird als 3+1 (6 LP) und auch
als 4+2 (9 LP) angeboten.
3+1
Studierende müssen an den ersten 10-11 Wochen in Format 4+2
Teilnehmen, das bedeutet, Sie müssen auch an der
Übung teilnehmen.
Prüfung kann dann nach Bedarf vorgezogen
(d.h., wir können sie in Januar organisieren), um etwa Überschneidungen mit anderen
Prüfungen
zu vermeiden.
Die
grobe Planung ist wie folgt: Ich fange mit der allgemeinen
Theorie
von metrischen Räumen an. Dabei wird auch
Stetigkeit,
Kompaktheit, Topologie eingeführt bzw.
wiederholt.
Mein Ziel ist es auch, wichtige Aussagen aus
`Calculus' (= Analysis, Differentialgleichungen) mit Hilfe
des
Fixpunktsatzes
zu beweisen. Es wird etwa 8-9 Wochen dauern.
Dann
komme ich zu der sogenannten Alexandrov-Geometrie.
Ich
werde u.a. mehrere aus der elementaren Geometrie
bekannte
Objekte (z.B. Winkel) für metrische Raume verallgemeinern. Eine wichtige Rolle werden auch Anwendungen in der
konvexen
Geometrie spielen.
Themen aus Calculus:
1. Metrischer Raum, Beispiele und Konstruktionen
(Produkt;
Funktionenraume;
induzierte Metrik), Offene Mengen,
Topologischer
Raum und Vergleichen von Topologien,
Lipschitz-Äquivalenz, Induzierte Topologie
2. Konvergenz von Folgen, Abgeschlossene Mengen,
Äquivalenz
von
topologischen und metrischen Definitionen, Normalität
von
metrischen Raumen
3. Stetige Abbildungen, Äquivalenz von topologischen
und
metrischen
Definitionen; Zusammenhängende und
wegzusammenhängende
Mengen; Beweis, dass Intervalle
zusammenhängend
sind; Zusammenhangskomponenten
4. Kompaktheit und Vollständigkeit
5. Vollständigkeit von C^0 und Arzela-Ascoli
6. Kontraktionen und Anwendungen in der Analysis:
Picard-Lindelöf, Satz über implizite Funktionen
Themen aus `Alexandrov-Geometrie'
1. Metrik auf dem Raum von konvexen Körpern und
Anwendungen
in Konvexgeometrie.
2. Lipschitz-Äquivalenz
und Lipschitz-Abstand zwischen
metrischen
Räumen
3. Hausdorff-Abstand
und Gromov-Hausdorff-Abstand;
Umformulierung
mit Hilfe von Approximationen; Beweis, dass
jeder
kompakte Raum GH-Grenzwert von endlichen Räumen
ist
4. Intrinsische Metriken, fast-Mittelpunkt Kriterium,
Satz von
Hopf-Rinow für kompakte Räume
Die Vorlesungen werden mit dem Beamer gehalten (auf Bildschirm projiziert); die
entsprechenden Dateien werden
vor der Vorlesung auf dieser Internetseite
veröffentlicht. Wir empfehlen, die Datei vor der Vorlesung auszudrücken, anzuschauen und zur Vorlesung
mitbringen.
Einführung
Vorlesung 1a
Vorlesung 1b
Vorlesung
1c
Vorlesung
1d
Vorlesung
2a
Vorlesung
2b
Vorlesung
2c
Vorlesung
2d
Vorlesung
3a
Vorlesung
3b
Vorlesung
3c
Vorlesung
3d
Vorlesung
4a
Vorlesung
4b
Vorlesung
4c (von Vorlesung 4c nur die erste
Seite (Satz 21) relevant)
Vorlesung
5a
Vorlesung
6a
Vorlesung
6c
Vorlesung
6d
Vorlesung
7a
Vorlesung
7b
Vorlesung
7c
Vorlesung
7d
Vorlesung
8a
Vorlesung
8b Dieser Foliensatz ist nicht Prüfungsrelevant
Vorlesung
8c
Prufungsthemen23
(Am 21.12 geändert)
Voraussetzung
für Vergabe von Leistungspunkten:
Regelmäßige aktive Teilnahme an Übungen
+ mind. 50% der Übungspunkte (und Bonuspunkte)
+ Mündliche Prüfung
